费马大定理：“一只会下金蛋的鹅”

科普中国-科学原理一点通 2017-12-12

　　费马大定理是由法国数学家费马提出的。此“定理”提出后，经过多个天才数学家的猜想辩证，历经三百多年，1995年，终于被英国数学家安德鲁·怀尔斯攻克，证明费马的断言是正确的。

　　费马大定理的提出：一个留在书旁空白处的断言

　　1637年法国数学家费马在研读古希腊数学家丢番图的著作《算术》时，看到有一道关于勾股数的问题“给定一个平方数，如何将它写成另两个平方数之和？”不知这位伟人对此进行了怎样的考究，但在这道题旁边的空白处，他却写下了这样一段话“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

　　费马的这段话是在断言：当n>2时，xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。这个断言就是著名的费马大定理，又称“费马最后的定理”。

　　费马大定理

非凡的费马大定理：一只会下金蛋的鹅

　　“地方太小，写不下”，这位伟人竟然找了如此的理由未将他美妙的证法写下来，不知道他是在开玩笑，还是故意给后人留了一个天大的“玄虚”，挑战后人的智慧。这个“定理”以其独特的魅力，吸引了众多杰出数学家致力于它的辩解论证，耗尽了许多天才大脑的精力，它困惑了三个世纪的数学家，或许当初费马根本就没有证明他的这个定理，因为300多年数学家们前赴后继的研究，发现攻克它实在是太难了！

　　18世纪，瑞士数学家欧拉仅仅做出了n=3的证明；19世纪，德国著名数学家高斯曾经研究过它，但终因得不到结果而放弃；20世纪，当大数学家希尔伯特被劝去破解费马大定理时，他却说他不愿意“杀死这只会下金蛋的鹅”。

　　为什么这么说呢？原来对费马定理长达3个多世纪的研究中，发展起了很多绝妙的数学概念和理论，甚至还产生了数学分支。这也是人们怀疑费马当时是否真的找到正确证法的另外一个理由。

　　1.扩充了“整数”的概念

　　在研究的过程中，数学家们发现，如果把n次单位根ω（即ωⁿ＝1）看作“整数”，那么xⁿ+yⁿ=zⁿ(n＞2)就可以分解为z"=x"+y"=(x+y)(x+yω)(x+yω²)…(x+yωⁿ)，进而再进行深入的分析。

　　2.产生了“理想数”概念，开创了代数数论

　　大家知道，当整数大于1时，都可以唯一地分解为一些素数的乘积，例如6=2x3，20=2²×5等。“整数”扩充后，如果仍然可以保持这种唯一分解性，那么费马大定理早就可以破解了。但事实却非如此。例如，扩充后的“整数”中，6有两种分解形式：6=2x3和6=（1+）（1-）。由此，19世纪德国数学家库默尔引入了一个全新的概念—理想数。以此为基础，他一下就证明了n≤100(个别情况除外）时的费马大定理。他也因此也开创了一门重要的数学分支——代数数论。

　　3.费马大定理“生下的最后一个金蛋”

　　1994年，英国著名数学家安德鲁·约翰·怀尔斯，经过8年的苦研，终于攻克了费马大定理。这个困惑数学家358年的猜想终于宣告破解。怀尔斯之所以给出正确的证明，关键在于他成功地运用“伽罗瓦群表示”，建立了“椭圆曲线”与“模形式”之间的对应，揭示了现代数学当中，不同的领域之间存在着深刻联系。此乃费马大定理这只鹅“生下的最后一个金蛋”。