吴文俊：世界，让我为你证明！

　　吴文俊 1919 年出生于上海， 1940 年毕业于上海交通大学。毕业后任中学教员，直至抗日战争胜利。 1946 年被陈省身先生吸收到当时的中 央研究院数学所，在陈省身先生指导下从事拓扑学研究，从此走上数学研究道路。 1947 年赴法留学，师从埃里斯曼与嘉当继续拓扑学研究， 1949 年获法国国家博士学位。 1951 年回到解放不久的祖国，在北京大学任教授。 1952 年任中国科学院数学所研究员， 1980 年起在中国科学院系统科学研究所工作至今。吴文俊现任中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所名誉所长、研究员，中国科学院院士、第三世界科学院院士；曾任中国数学会理事长（ 1985---1987 ），中国科学院数理学部主任（ 1992---1994 ），全国政协常委（ 1979---1998 ）。

　　数学的一半是中国数学

　　吴文俊研究的是数学，袁隆平主攻的是农业科学 --- 杂交水稻，作为首届国家最高科技奖的获得者，他们都是享誉世界的大科学家。

　　几天前那个瑞雪纷纷的晚上，他们手拉手落座，吴文俊院士对袁隆平说，人们称你是 " 杂交水稻之父 " ，数学起源于农业。袁隆平院士则说，直到今天我仍弄不清为什么 " 负负得正 " 。说完他们开怀大笑。

　　吴文俊院士认识深刻，数学的确是一切基础科学中的基础学科，是科学现代化的基础。

　　在相当长的时间里，不少西方数学家认为中国古代数学不是世界数学的主流之一，甚至不打算承认中国古代数学对世界数学的杰出贡献。 20 世纪 70 年代，吴文俊潜心进行了中国数学史的研究，他的结论在数学界起到震聋发聩的影响。

　　在研究中吴文俊发现，中国古代数学独立于古希腊数学和作为其延续的西方数学，有着其自身发展的清晰主线，其发展过程、思考方法和表达风格亦与西方数学迥然不同。他说，通常认为，中国古代没有几何学，事实上却不是这样，中国古代在几何学上取得了极其辉煌的成就。人们的误解可能是因为中国古代几何学在内容和形式上都与欧几里得几何迥然不同的缘故：中国古代几何没有采用定义 --- 公理 --- 定理 --- 证明这种欧式演绎系统，取公理而代之的是几条简洁明了的原理。

　　吴文俊在回顾中国古代数学的伟大成就时感慨地说，中国古代的劳动人民在广泛实践的基础上，建立了世界上最先进的数学方法，直到 16 世纪，我国数学在最主要的领域一直居于世界领先地位。特别是自古就有的完美的十进位位值制记数法，是中国的独特创造，是世界其他古代民族所没有的。这一创造在人类文明史上居于显赫的地位。中国古代的几何学有着极其辉煌的成就。测高望远之学形成了重差理论，土地的丈量与容积的量测产生了面积和体积理论，提炼成出入相补的一般原理。整个多面体体积理论可奠基刘徽原理及出入相补原理之上。祖  原理则解决了球体体积问题。勾股测量学及勾股定理的证明，圆周率推导和计算 …… 这些成就表明，我国古代几何学既有丰硕的成果，又有系统的理论。吴文俊指出，数学发展中有两种思想：一是公理化思想，另一是机械化思想。前者源于希腊，后者则贯穿整个中国古代数学。这两种思想对数学发展都曾起过巨大作用。从汉初完成的《九章算术》中对开平方、开立方的机械化过程的描述，到宋元时代发展起来的求解高次代数方程组的机械化方法，无一不与数学机械化思想有关，并对数学的发展起了巨大的作用。公理化思想在现代数学，尤其是纯粹数学中占据着统治地位。然而，检查数学史可以发现数学多次重大跃进无不与机械化思想有关。数学启蒙中的四则运算由于代数学的出现而实现了机械化。线性方程组求解中的消元法是机械化思想的杰作。对近代数学起决定作用的微积分也是得益于经阿拉伯人传入欧洲的中国数学的机械化思想而产生的。即便在现代纯粹数学研究中，机械化思想也一直发挥着重大作用。他特别指出，机械化思想是我国古代数学的精髓。后面我们将看到的正是吴文俊对中国古代数学的总结和领悟，他在世界上首创了 ── 机器证明，也就是数学机械化方法。

　　中科院数学所李文林研究员这样评价吴文俊对中国数学史的研究：他的研究起到了正本清源的作用，证实中国古代数学是世界数学的主流之一，促进了西方数学与中国古代数学两大主流的融合，推动了数学的发展，同时也掀起了对中国数学史再认识的新高潮。更为重要的是，吴文俊古为今用以此为基础开创了数学机械化研究。

　　" 现代数学女王 " 的新风采

　　法国数学家狄多奈这样形容拓扑学，说拓扑学是 " 现代数学的女王 " 。

　　从定义上说，拓扑学是数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。 40 年代中期在师从陈省身先生之前，吴文俊对拓扑学还所知甚少，在陈省身先生的指导下，吴文俊步入了数学的圣殿。由于勤奋研究和超群的领悟能力，他开始在拓扑学的深水中游泳了。那时美国数学家惠特尼推导出一个著名的 " 对偶定理 " ，这是一个十分基本的公式，可是证明长得异乎寻常，吴文俊形容它 " 总有十几页、几十页长，没法在杂志上发表 " ，出一本书倒合适。吴文俊经过精心推导，给出了一个只有几页纸的证明。当时最具权威的美国《数学年刊》刊载了这个公式，惠特尼说，我的证明可以扔掉了。

　　吴文俊独创新意给出的这个简单证明，成为拓扑学中 " 示性类 " 的一个重要成果。仅仅一年多时间吴文俊就在以难懂著称的拓扑学的前沿领域取得如此巨大成就，这确是国际数学界并不多见的，足见吴文俊的研究功力。

　　1947 年 11 月吴文俊赴法国留学，当时正是布尔巴基学派的鼎盛时期，也是法国拓扑学正在兴起的时期。吴文俊在此期间在拓扑学领域取得了一系列重大成果，其中最著名的是 " 吴示性类 " 的引入及 " 吴公式 " 的建立。示性类是刻画流形与纤维丛的基本不变量。 40 年代末，示性类研究处在起步阶段，瑞士的斯蒂费、美国的惠特尼、苏联的庞特里亚金和中国数学家陈省身等著名科学家，先后从不同角度引入了大都是描述性的示性类概念。这些数学家从不同途径引入的示性类，由吴文俊分别以斯怀示性类、庞示性类、陈示性类命名。吴文俊将示性类概念化繁为简，从难变易，形成了系统的理论。吴文俊分析了这些示性类之间的关系，着重指出，陈示性类可以导出其他示性类，反之则不然。他在示性类研究中引入了新的方法和手段，在微分情形，他引出了一类示性类，被称为 " 吴示性类 " 。它不单是描述性的抽象概念，而且是可具体计算的。吴文俊给出了斯怀示性类可由吴示性类表示的明确公式被称为 " 吴（第一）公式 " 。这些公式给出各种示性类之间的关系与计算方法，从而导致一系列重要应用，使示性类理论成为拓扑学中完美的一章。

　　回国以后，吴文俊深入进行了嵌入理论研究，提出了 " 吴示嵌类 " 、 " 吴示痕类 " 、 " 吴示浸类 " 的重要基本概念，解决了嵌入理论的重要问题。吴文俊在谈到 " 吴示性类 " 、 " 吴示嵌类 " 、 " 吴公式 " 的时候，笑容通常都十分灿烂的吴文俊像孩子那样缩了一下脖子：他的工作成果曾被四位 " 菲尔兹奖（数学界最高奖） " 获得者引用，其中三位还在他们的获奖工作中使用了吴文俊的成果。现在国际数学界有一个有趣的现象，许多研究文章直接以 " 吴公式 " 为题或使用 " 吴公式 " ，已不再引用吴文俊的原文，也就是说人们也许已不大知道 " 吴 " 是何许人也了。这说明这些拓扑学研究成果已广为人知，成为拓扑学的基础性、经典性的内容了。

　　在拓扑学研究中，吴文俊起到了承前启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展，引发了大量的后续研究，许多著名数学家从他的工作中受到启示或直接以他的成果为起点，获得了一系列重大成果。

　　1989 年，法国数学家狄多奈出版了著作《代数拓扑学家和微分拓扑学史（ 1900──1960 ）》，其中引用吴文俊的研究成果 17 次。他写道，吴文俊把示性类由极为繁复的形式转化为现代的漂亮形式。数学大师陈省身称赞吴文俊 " 对纤维丛示性类的研究做出了划时代的贡献 " 。吴文俊也因此获得了国家自然科学奖一等奖。

　　" 把质的困难转化为量的复杂 "

　　上面这句话初看挺费解，不过看到后面我们就知道吴文俊在指什么了。

　　我们知道，吴文俊正在从事数学机械化的研究，已在拓扑学领域硕果累累，为什么又转到研究数学机械化方法来了呢？这与他多年前的一次经历有关。 70 年代他去北京无线电一厂，在那里第一次接触到计算机，他敏锐地感到了计算机的威力。他曾极深入地研究过中国古代数学史，他认为中国古代数学是算法性的数学，重在提出问题解决问题，证明定理不是主要的。计算机主要是算法的科学，中国的传统数学思想恰能与计算机结合。吴文俊由此萌发了能不能为数学研究提供计算机工具的想法，从而为振兴中国传统数学做出贡献。

　　系统科学研究所副所长高小山博士说，这正体现了吴文俊具有的战略眼光，他始终在考虑数学该怎么发展，特别是中国的数学该怎么发展。

　　吴文俊科学地预言：数学机械化思想的未来生命力将是无比旺盛的，中国古代数学传统的机械化思想光芒，将普照于数学的各个角落。

　　一个偶然的契机改变了吴文俊的研究方向。 80 年代曾与吴文俊在一个研究室，从事同一专业研究的数学家石赫回忆说， 70 年代中期，吴文俊已五十六七岁，为了研究数学机械化方法，开始学习计算机的操作，从头学习计算机语言，亲自在袖珍计算机和台式计算机上编制计算机程序，并要求自己的学生都要学会这个 " 脑力劳动中的重体力劳动 " 。他学遍了当时从最简单到最复杂的计算机知识。

　　在那些日子里，他的工作日程通常是这样的：清晨，他来到机房外等候开门，进入机房后是八九个小时的不间断工作。下午 5 点左右，他步行回家吃饭，抓紧时间整理分析计算结果。晚 7 点左右，他又出现在机房工作至第二天凌晨。有时深夜离开机房回家稍事休息四五个小时后，又在清晨等候机房开门。机房管理员是一位年轻人，他很心疼吴文俊，抱怨说 " 吴先生这么下去，我们都要顶不住了。 "

　　石赫这样形容吴文俊的工作：工作是随机进行的，看着电影想起什么就起身直奔办公室。论上机时间，吴文俊是所里绝对冠军。

　　吴文俊对数学机械化方法有这么一番说明：这种方法就是把要证明的问题转化成代数，编成程序，用计算机进行进一步计算。把原来要挖空心思拐弯抹角穷思冥索的人工演算转化成量的反复，尽管计算量再大计算机也不在乎，这样很困难的问题便变得容易了。有了计算机，人们可以从事更高层次的创新性研究。他对我说，机器证明是很适合笨人的，我是笨人。

　　对于数学机械化方法，吴文俊有这么一段描述来说明它的前程无量：中世纪是骑士的时代，骑士仗剑横行，有了手枪骑士便消失了，因为再会用剑的骑士也抵不住一个弱女子的一粒子弹。

　　这就是 " 把质的困难转化为量的复杂 " 。

　　由开普勒证明牛顿

　　让吴文俊十分感慨的是，他的机器证明研究一开始就得到有力的支持，他的成果 " 是在国家的特别资助下完成的 " 。从那时到现在，他已换过六七代计算机，有的价值十几万美元，甚至几十万美元。 " 这足以证明社会主义制度的优越性。国家在还不那么富裕的情况下总要拨出一些钱，资助科学家 " 。他说，原国家科委和国家自然基金委员会对自己的工作给予重大支持，周光召院长亲自过问为他配备了一台 " 比较高档 " 的计算机。

　　吴文俊的数学机械化方法研究开始有了初步成果。 1986 年，美国通用机器公司下属的一个研究机构，组织了一次国际学术会议，邀请吴文俊参加。两位与会代表据说是两位美国数学家，邀吴文俊谈了一天有关机器证明的研究。会后，美国科学家沃斯邀请吴文俊访问阿贡实验室，问他能不能用数学机械化方法从开普勒对行星运动的观测结果，直接导出牛顿的引力定律。天体间引力与质量成正比比较容易理解，而与距离平方成反比就费解了。美国能源部一个研究小组用他们的方法苦于解决不了这个难题。回国后，吴文俊用了不到一个月时间就用数学机械化方法解决了这个难题 ── 由开普勒的观测结果直接推导出牛顿引力定律。

　　此前，吴文俊用数学机械化方法手算证明了几个定理，说明这种方法是可行的。那时候一个上千项的大数学式子， 24 小时用纸、笔算下来，十几页纸都放不下。现在，同样问题用计算机一秒钟都用不了就解决了。这意味着脑力劳动实现了机械化，增强了科学家的研究能力，提高了研究效率。这等于延长了科学家的工作寿命。

　　吴文俊的研究于 80 年代中期传到国外。一个学生听了吴文俊的课，出国后向他的老板谈到了，这位老板显然是一位对新事物十分敏感的人，他向外界介绍了吴文俊的数学机械化方法。美国数学会《现代数学》破例全文转载了吴文俊的一篇论文，而这份刊物从来不刊登已发表过的论文。美国通用机器公司、康奈尔大学、法国信息技术研究中心等召开专门会议，研究吴文俊的数学机械化方法，掀起了一个高潮，反响极大。

　　目前，吴文俊的研究仍在国际数学界处于领先地位，并形成了机器证明的 " 吴学派 " ，关于几何机器证明都是 " 吴学派 " 提出来的。用数学机械化方法解方程，正处在 " 吴学派 " 与国际同行的较量之中。数学机械化方法研究是中国数学家吴文俊开创的全新研究领域，并引起国外数学家的高度重视。美国人工智能协会前主席布列德索写信给我国主管科技的领导人，称赞 " 吴关于平面几何定理自动证明的工作是一流的。他独自使中国在该领域进入国际领先地位 " 。

　　现在由吴文俊担任学术指导，国内有二三十个单位的六七十名科学家在从事数学机械化研究。高小山博士说，数学机械化方法的应用领域极其广阔，它可以为数学和其他领域的研究提供工具，为计算推理提供一种强有力的工具。在数学研究中的应用，可以把数学家从繁重的脑力劳动中解放出来，从而推动学科发展。这是数学机械化方法将来发展的主要方面之一，现在已经起步了。另外一个方面，数学机械化方法将会被应用于交叉研究，如力学、理论物理、机械机构学、计算机技术、图像压缩、信息保密、新一代数控机床、计算机图形学、计算机辅助设计、机器人等许多领域。

　　1997 年在获得国际著名的 " 自动推理杰出成就奖 " 时，吴文俊还获得了这样的赞誉：几何定理自动证明首先由赫伯特 · 格兰特于 50 年代开始研究，虽然得到了一些有意义的结果，但在吴方法出现之前的 20 年里这一领域进展甚微。在不多的自动推理领域中，这种被动局面是由一个人完全扭转的。吴文俊很明显是这样一个人。