为什么一年365天中地球自转不是365圈？

　　导语

　　今天是一年的最后一天。让我来考考你：今年共有365天，请问今年地球一共自转了多少圈？大部分人一定会脱口而出：365圈！地球自转一圈就是一天，365天当然就是365圈啦。

　　但是，这个答案对吗？让我们的数学教授来告诉你：

　　地球绕太阳公转一周为一年，地球自转一周为一天。假设一年正好365天，问地球自转了多少周？在回答这个问题之前，我们得先分析一下。

　　什么叫地球自转一周？确切地说，是地球自身旋转了360°。那么一天呢？一天就是24小时，或者说从中午12点到第二天中午12点。也就是从我们在地球上所在位置正对着太阳开始，到地球自转至我们所在位置再次正对太阳为止。如果地球相对于太阳是不动的，一天时间地球正好自转一周。但由于地球同时绕太阳公转，当我们所在位置再次正对太阳时，地球已经绕太阳公转了一个角度。假设公转一周（即一年）是365天，则这个角度就是0.9863°（360°/365）。

　　由于地球自转和公转方向相同，一天内，地球自身旋转转过的角度事实上超过了360°。利用平行线的“内错角相等”原理，我们可以算出超过的角度正好是0.9863°，即一天自转了一周又0.9863°。如此，每天多转0.9863°，一年365天累计多转了0.9863°×365≈360°，正好一周。因此前面问题的答案是：一年365天，地球自转了366周。是不是有点意外？

　　实际上地球绕太阳公转一周多于365天，是365天5时48分46秒，所以一年中地球实际自转了366.2422周。由于地球一天自转的角度和一周相差无几（不超过1°），人们通常称地球自转一周为一天，对日常生活几乎没有什么影响。而在天文学上，为了区分这两者，将通常的一天称为一个太阳日，将地球自转一周称为一个恒星日，一个恒星日的时间是23时56分4.09秒。

　　数学上还有类似的例子。比如，给定一个大圆、一个小圆，小圆的半径为大圆的1/4，让小圆在大圆外部沿大圆周滚动，这个情形和地球自转的同时又绕太阳公转是类似的。如果小圆绕大圆一周后回到起始位置，则小圆自身旋转了5周而不是4周。如果让小圆在大圆内部沿大圆周滚动绕大圆一周，则小圆自身仅旋转了3周，读者可以自己分析一下这个过程。从中我们可以看到，如果让同样大小的两个圆分别在一个大圆的内外滚动，以相同的时间在大圆上滚过相同的弧长（即线速度相同），那么，外面圆的转速（角速度）要大于里面圆的转速。反之，如果让内外两个圆的转速相同，则在相同的时间内，里面的圆滚过的弧长要大于外面的圆滚过的弧长。如果让一个圆在波浪形曲线（比如正弦曲线）上滚动，并且单位时间内在曲线上滚过的弧长相同，则圆的转速将是不均匀的，这与在直线上滚动是不一样的，不能套用直线上的结论。

作者：邱维元（复旦大学数学科学学院）

　　来源：《十万个为什么·数学》