为什么“加倍投注”不是必赢法宝

科普中国网 2017-06-20

　　作者：邱维元（复旦大学数学科学学院教授）

　　投注时有没有包赢不输的法则？有人宣称“加倍投注”总能帮你把输掉的赢回来，这种说法可靠吗？

　　在电影中，我们常常会看到赌场里有一种押大小的赌博方式，即投注一定金额去押大或押小，如果押不中，就会输掉所投金额，一旦押中就可以赢得与所投金额等量的金额。据说，对于这种押大小的赌博方式有一种“包赢不输”的策略，也就是所谓的“加倍投注”法。

　　加倍投注法的具体策略是：第一次，投注一个最低金额a元。如果输了，则下一次加倍投注2a元。如果再输，则再次加倍投注4a元。如此下去，每输一次，就加倍投注一次，直到赢为止。然后，重新以最低金额开始投注，重复上述做法。假设在押赢之前连输了n注，则一共输掉a+2a+…+2n-1a=（2n-1）a元，而接下来一注赢回2na元。因此，一轮下来总能赢到a元！如此看来，只要一直赌下去，就能包赢不输，这看上去真是一个完美无缺的必赢法宝。但事实真是这样吗？

　　事实上，的确有不少人在知道这种“加倍投注”法后，去赌场一试身手。但是结果基本上都是赌到输光为止。也就是说，这个必赢法宝并不奏效。这是为什么呢？原因是，即使这个赌徒每次都能押赢，也只能赢到最低的a元，连赢n次也只是na元，赢到的钱呈等差级数增长，增长的速度是比较慢的。但是，一旦出现连输，输掉的金额却是翻倍增长的，增长速度之快简直难以想象。只要这个赌徒的本钱是有限的，那么就有可能因为连输，在还没有机会赌赢之前，就输光了本钱。比如，一个赌徒带1万元本金参赌，最低投注10元，要是出现连输10次，就会输掉10×（210-1）=10 230元。因此，即使他前面赢了一点钱（不会太多，因为赢的钱只是以等差数列增长），也基本输得精光了。

　　也许读者会认为，尽管有可能出现连输现象，但是连输10次这样的情况出现的机会非常小。输1次的概率为1/2，连输2次的概率为(1/2)2=0.25，连输10次的概率只有(1/2)10≈0.001，这样小的概率基本上不会出现。如果这个赌徒一共只投注10次，那么，这10次全输的概率确实约为0.001。然而，当赌徒相信“加倍投注”必赢的话，就会连续赌下去，这样，出现连输10次的概率远非想象的那么小了。通过计算可知，如果连续投注约1500次，则出现连输10次的概率就大于1/2，这就是说他将以大于1/2的概率输光这1万元本金。而且，投注的次数越多，出现连输的机会越大，如果连续投注5000次，则出现10次连输的概率将超过90%。

　　一般说来，只要赌徒一直赌下去，出现10次、15次、20次连输的概率都会随着投注次数的增加而越来越大。因此，不管一个赌徒有多少本钱，只要这些本钱是有限的，最后都会输光。