[科普中国]-九连环中的数学原理

九连环作为我国民间玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄。游戏时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合而为一。“九连环”现已成为一种国际性的益智游戏，国内外都有学者在研究，拆解九连环的过程中也蕴含着一些数学原理。

九连环在拆解的过程中有两个原理：

1. 如图一所示，九连环中的第一个环，在任何情况下都可上可下；

2. 如图二所示，如果某一个环在上面的环杆上，而它前面所有的环都在下面的环杆上，那么这个环的后一个就可上也可下。这也就是说，如果我们想把第n个环卸下，那么第n-1个环要留在上面的环杆上，而第n-1个环前面的所有环都要在下面的环杆上。

3. 每次只能解下或装上一个环。

由以上可知，如果我们解下第九个环，我们就要把第八个环放到上面的环杆上，而把前七个环放到下面，进而把拆解“九连环”转变为拆解“七连环”。我国古代也有拆解九连环的口诀：“上俩下一个，再动后一个；上一个下俩，再动后一个”。而九连环的拆解方法就涉及到了“数列”这一数学原理：

我们假设环的数量为n，记解开n连环所需的总步数是Sn, 解下每个环的步数为an；根据第二个原理我们可以推出，如若要卸下第n个环，就需要先卸下前n-2个环，其总步数就为Sn-2，这时再需要一步就可以把第n个环解下；而为了解下第n-1个环，还需要把前面的n-2个环套上，装上前n-2个环就需要Sn-2步（因为装上和卸下的步骤正好相反，所以步数相同），所以卸下第n个环需要an=2Sn-2+1步。因此，解开九连环所需要的步数就是一道数列题：“已知S1=1，S2=2，an=2Sn-2+1,求Sn（n≥3）。”

由上图可知，S9=341，即拆解一个九连环需要341步。

熟悉九连环的人解开处于原始状态下的九连环所需的时间大概是6分钟左右，解开11连环则需24分钟左右，以此类推，如要解开17连环就要一昼夜以上，这不仅仅是在解环，也是在挑战自身的极限。这也就是九连环自诞生之后，虽然步骤简单却可以在民间广为流传，盛行不衰的原因吧。

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