[科普中国]-古怪的曲面——克莱因瓶

公元1882年，数学家菲利克斯·克莱因提出了一种自我封闭且没有明显边界的模型“克莱因瓶”。克莱因瓶是一个没有边的曲面，像球面一样封闭，但它却只有一个面。在数学领域，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，如二维平面一样没有“内部”和“外部”之分。

克莱因瓶的结构主要表现为，一个瓶子的底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。此外，克莱因瓶和我们日常见到的球面也不同，例如，一只小蜜蜂就可以从瓶子的内部直接飞到瓶子的外部，而不用穿过表面，也就是说，克莱因瓶没有“内面”和“外面”的区别。

观察克莱因瓶的图片，你会发现它的瓶颈和瓶身是相交的，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置，事实真的如此吗？其实，克莱因瓶是一个在四维空间中才能真正表现出来的曲面，也就是说克莱因瓶的瓶颈是先穿过了第四维空间然后才和瓶底圈相连的，并不穿过瓶壁。

如何才能制作出克莱因瓶呢？有两种方法。

第一种：环面变形。以轮胎为例，首先，剪断一截轮胎，做成一个曲形圆筒，注意圆筒一面宽一面细，然后将细的一端插入圆筒侧面的孔中，但不和管壁相交，再从宽的那端深处伸出，使边缘处自然衔接，这样就能得出克莱因瓶了。

第二种：莫比乌斯环变形。首先准备两个对称的莫比乌斯环，将这个环的边缘用胶带粘在一起，这样，弯折处就变成克莱因瓶的“入口”了。

将一个克莱因瓶适当剪开，也可以得到两条莫比乌斯环。相较而言，莫比乌斯环具有一条非常明显的边界，而克莱因瓶则是一个自我封闭没有明显边界的模型。

克莱因瓶虽然是数学发现，但它的应用并不局限于数学领域，它与传统文化、艺术创作、工业生产等各方面都有密切联系。数学从来不单调，它在社会各方面都展现着风采。

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