[科普中国]-趣味形数之正方形数

在数学史上，最早把正整数和几何图形联系在一起的数学家是古希腊时期的毕达哥拉斯，他发现沙滩上的小石子能够摆成不同形状的几何图形，因此把数与图形结合起来研究。通过将正整数和正三角形、正方形等图形联系起来，将数分为三角形数、正方形数等，平面的多边形数甚至推广到空间立体数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了。

那什么是正方形数呢？

正方形数是图形数的一种，也叫平方数。平方数是可以表示某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。说起它来大家都很熟悉，如1，4，9，16……都是正方形数。结合图形来看，若n为正方形数，n个点就可以等距排列成一个正方形，如图所示：

作为一类特殊的正整数，正方形数有许多有意思的结论：

正方形数与三角形数的联系

任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和。（三角形数就是可表示为连续正整数相加形式的数，如1，1+2=3，1+2+3=6……都是三角形数。）如4=1+3，9=3+6，16=6+10，25=10+15……

图形表示为：

通过图形的切割推出数的组合，这样的思路适用于所有形数的研究。例如正五边形数通过图形的分割也可以转化成三角形数来研究。比如按如图所示的切割方式，五边形数可转化为三个三角形数之和。

有趣的奇数现象

任何一个非零平方数都可以表示为从“1”开始的连续奇数之和的形式。即n2=1+3+5+…+（2n-1）如:4=1+3, 9=1+3+5, =1+3+5+7，25=1+3+5+7+9，……

图形表示为：

奇偶平方数的有趣性质

（1）任何一个非零偶数的平方数都可以表示为首项为4，公差为8的一串数之和的形式。即（2n）2=4+12+20+…+（8n-4）2如22=4，42=4+12，62=4+12+20，82=4+12+20+28,……

图形表示为：

（2）任何一个奇数的平方都可以表示为从1开始，然后依次是8的连续倍数的几个数之和的形式。即：（2n+1）2=1+8×1+8×2+…+8×n如12=1，32=1+8×1，42=1+8×1+8×2，52=1+8×1+8×2+8×3，……

图形表示为：

连续整数的和

平方数还可以表示成连续整数的和的形式。即n2=+1+1+2+…+（n-1）+（n-1）+n。

如22=1+1+2，32=1+1+2+2+3，42=1+1+2+2+3+3+4。

图形表示为：

任何一个正整数都可以表示为四个平方数之和，如：9=22+22+12+02，10=22+22+12+12，25=42+22+22+12……

了解正方形数性质后，你是否感受到形和数的配合是那么和谐？人们对于形数的研究经历了漫长而曲折的过程，如今已有丰富的研究成果，你是否知道有关正方形数的其它有趣性质？

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