[科普中国]-中西方音阶中的数学知识

中西方音乐在世界艺术领域中都占据着举足轻重的位置。无论是中国音乐古朴素雅，还是西方音乐丰富多变，均受到人们的喜爱。当我们比较二者时，会发现它们在音阶体系上有明显的差异。由于地域位置、生活环境和选取材料的不同，人们获得的音阶构成也有差异，由此便诞生了七声音阶和五声音阶。

中国传统音阶是五声音阶，由“Do、Re、Mi、Sol、La”这五个全音组成，在中国古代典籍中写作：宫、商、角、徵、羽。西方音阶是七声音阶，即“Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”。

中国传统五声音阶早在公元前十世纪就已经出现。《国语》记载“景王问钟律于伶州鸠”的故事中，就曾提到“宫、角、羽”三音。西方音乐学家通常把古希腊音乐作为西方音乐的起源。但古希腊调式音乐为“四音列”，每两个相同结构的“四音列”首尾相连可组成一个七声调式，这可能是七声音阶在形态上最早的雏形。

令人惊讶的是，我们可以运用数学知识来解释音乐基本元素——乐音与音阶的构成原理。

我国最早有关音律的记载出现在《管子·地员》，其中提到了用“三分益一”和“三分损一”的方法研究五声音阶中各音阶弦长比。这种依据声学原理，运用数学方法得出音阶的理论称作“三分损益律”。作为一种生律法，其不仅可以得到五声音阶，还可以进一步得到十二律。在《吕氏春秋·音律》中就记载了十二律的名称和推算过程。

在几乎同时期的西方，古希腊数学家毕达哥拉斯也在探索音乐与数学的关系。他认为琴弦长短和音调高低成比例关系，当弦长比分别为 2：1（纯八度）、3：2（纯五度）、4：3（纯四度）时发出的音是协和完美的。他以纯五度作为生律的关键， 提出了“五度相生律”，亦称“毕达哥拉斯律”。“五度相生律”与“三分损益律”有极其相似的地方，这说明人类听觉能力的进化和对自然音阶的认识是有共性的。而且，中西方音乐中音阶的构成虽然不同，但最终结果均是将一个完整的八度音阶分成了十二个半音。

另外，人耳之所以能够听见动听的乐音，是因为物体振动产生的声波，通过空气传播引起我们耳鼓微小振动。振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现为声音音色的不同，而振动的快慢就体现为声音的高低。

当声音频率过高或过低时，人耳会感觉不舒服或完全不能感知，音乐中常使用的频率范围大约是16至4000赫兹，而人声及器乐中最富有表现力的频率范围大约是60至1000赫兹。在七度音阶中，频率为261.63赫兹的音在音乐里用字母c1表示。一根弦所发出的声音与同一根弦但长度减半后发出的声音有非常和谐的效果，因其振动频率十分和谐，即“共鸣”，此时的两个音便是我们常说的八度音。英国数学家泰勒确立的数学公式精确地描述了弦的状态与音乐的关系，即：弦振动频率与弦的张紧力的平方根成正比，与弦的线密度的平方根成反比，与弦的长度成反比。利用这个公式，我们可以知道，一对八度音事实上就是频率之比等于2：1的两个音。

音阶是数学与音乐相结合一个很好的方面，其对乐理研究和艺术表现都发挥着重要作用。而中西方音乐的和而不同，将带给全世界美的享受。

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