[科普中国]-钢琴键盘与同余理论

钢琴被称为现代乐器之王，是一种依靠琴槌击打琴弦发音的击奏弦鸣键盘乐器。最早的钢琴诞生在1710年左右，经过近三个世纪的不断改良和发展，如今钢琴已成为乐器大家族中引人注目的角色之一。

现代钢琴分为三角钢琴和立式钢琴两大类。它们的键盘从5个八度(61键)到8个八度(96键)不等，最常见的有7组88键或7组85键的钢琴。钢琴是管弦乐队中音域最为宽广的乐器，通常音乐中的有效音高在钢琴上都可以找到。而且在钢琴键盘上，我们可以非常直观地看到乐音体系中所使用的音和音列。

钢琴为平均律乐器。它应用了十二平均律，即钢琴上的每一个八度被均分为12个半音，其中包括7个基本音级（白键）和变化音级（黑键）。7个基本音级即我们所熟悉的do，re，mi，fa，sol，la，si，用英文字表示为C,D,E,F,G,A,B。将基本音级升高或降低得到变化音级。“#”表示将基本音级升高半音，称“升号”；“b”表示将基本音级降低半音，称降号；“x”表示将基本音级升高全音（即连续升高两个半音），称重升号；“bb”表示将基本音级降低全音（即连续降低两个半音）称重降号。例如，#C或bD，即为紧邻C上方（在钢琴上为右方）也即紧邻D下方（在钢琴上为左方）的黑键。

神奇的是，这样看似简单的琴键关系中，包含着一套数学密码。相邻的两个琴键(包括黑键)都构成半音，相距12个半音的两个音所产生的声波振动频率存在2倍关系。人耳识别到这两个音具有关联性，并由此定义它们互为八度音。运用到数学中，我们称键位y比x高k个八度音，则可列出：

y-x=12k,k=1,2,3.......

上述x和y两数间联系称为同余。

如果两个整数的差y-x能被一个正整数m整除，则称y与x同余， 模为m，记为Y≡x（mod m）。整数m称为模，例如：

39≡4（mod 5），即：39-4=35，35能被5整除。

y≡x（mod m）的通俗说法便是y与x相差m的整数倍，即y=x+km。对某个整数k，给定任一整数m，与x同余的全体整数构成的集合称为x的剩余类（同余类），表示为[x]m。通常，剩余类中的最小非负整数用来表示该剩余类，并称这样的剩余类为最小剩余。如果x是一个剩余类中的特定元，则余下元都可由x加上m的整数倍生成。给定任何一个类，容易看出最小剩余就是特定元整除模后的余数。例如，[748]5=[3]5，因为3是748整除5后的余数。

同余类的加法运算定义为：[a]m+[b]m=[a+b]m

钢琴键盘上音是循环重复的，我们知道一个八度后接另一个八度，而其中音符的音名也是C,D,E,F,G,A,B几个字母的依序重复排列。为什么C在间隔12个半音后还能得到C呢？从同余理论考虑，每一个字母都是该键位的模为12的同余类的命名，这12个类中的每一个都可自成一个调。因此我们将白键上的音初始定义如下：

在乐理中，C升高半音，既可称为升C，又可以称为降D，即音高相同而意义和记法不同的音，我们称之为等音。他们用相同的数字定义。由此我们可以得出钢琴键盘上所有键位，通过最小剩余计算而得出相对应的音名，循环往复的音名。

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