[科普中国]-韩信点兵的奥秘：中国剩余定理

韩信是中国古代一位有名的军事家，民间流传着许多他的故事，韩信点兵便是其中之一。

秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信率1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗，韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。

韩信命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：“我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步逼近，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

部将好奇地问韩信：“大帅是如何迅速地算出我军人马的呢？”韩信说：“根据编队时排尾的余数算出来的。”

韩信到底是怎么算出来的呢？

这也是中国古代的一道趣味算术题。有一首四句诗隐含了解题的思路：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月，除百零五便得知。”

诗里让人记住这几个数字：3与70，5与21，7与15，还有105（也就是3、5、7的公倍数）。这些数是什么意思呢？题中3人一列多2人，用2×70；5人一列多3名，用3×21；7人一列多2人，用2×15，三个乘积相加：

2×70+3×21+2×15=233

用233除以3余2，除以5余3，除以7余1，符合题中条件。但是，因为105是3、5、7的公倍数，所以233加上或减去若干个105仍符合条件。这样一来，128、338、443、548、653……都符合条件。总之，233加上或减去105的整数倍，都可能是答案。韩信根据现场观察，得出了1073这个数字。

诗歌里的数字又是怎么得来的呢？

70是5和7的公倍数，除以3余1；

21是3和7的公倍数，除以5余1；

15是3和5的公倍数，除以7余1。

《孙子算经》也有类似的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”

答曰：“二十三。”

术曰：“三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”

什么意思呢？用现代语言说明这个解法就是：

首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。如果所求的数被3除余2，那么就取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。如果所求数被5除余3，那么取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。如果所求数被7除余2，那就取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，所以233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。105是3、5、7的公倍数，前面说过，凡是满足233加减105的整数倍的数都是符合题意的，因此依定理译成算式解为：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105×2＝23

这就是有名的“中国剩余定理”，或称“孙子定理”，和韩信点兵是一个道理。

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