[科普中国]-韦达定理：一元二次方程根与系数的关系

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一书中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理指出：一元二次方程中两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。

韦达定理在求根的对称函数、讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

接下来就让我们深入了解学习一下韦达定理，设一元二次方程ax²＋bx＋c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此一元二次方程有两根x₁、x₂，有如下关系：

由一元二次方程求根公式如下：

韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。一元二次方程的根的判别式为：△=b2-4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造开拓了广泛的发展空间。

已知两个根其中的一个，就可以代入韦达定理的关系式里求得另一个根，并且还可以用另一个关系式来检验。

假设现在有一个一元二次方程2x2－7x＋6=0，一个根等于2，求另外一个根为多少。

解法如下:

由一元二次方程的根与系数的关系，我们知道a=2，b=﹣7，c=6；由判别式△=49-4×2×6=1>0可知，此方程有两个不相等的实数根；那么我们就可设方程两个根分别为x₁、x₂，已知其中一个2。

根据韦达定理，可知①x₁x₂=6/2 ②x₁+ x₂=7/2

得出x₁=2，x₂=3/2

因韦达定理可快速求出两方程根的关系的特性，所以它在数学及实际生活中，运用十分广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。

本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创，转载时务请注明出处。