[科普中国]-不定方程组——百钱买百鸡

百鸡问题是一个数学问题，出自中国古代约5—6世纪成书的《张邱健算经》，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题。题今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鸡雏各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。

原书没有给出解法，中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的谢察微记述过一种不算正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题的表达形式也越来越多，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。

实际上，《算经》中提出的数学问题简言之就是我们现代数学所说的百钱买百鸡问题，一只公鸡值钱5，一只母鸡值钱3，三只小鸡值钱1，100块钱怎么才能买到100只鸡，并且买到的小鸡，母鸡，公鸡各是多少呢？从现代数学观点来看，是一个求不定方程组的题目。

假设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：

①……x+y+z =100

②……5x+3y+(1/3)z =100

有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

令②×3－①得：7x+4y=100；

所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, （t为整数）所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t

易得z=75+3t

所以：x=4t

y=25-7t

z=75+3t

因为x,y,z为正整数

所以4t大于0

25-7t大于0

75+3t大于0

解得t大于0小于等于25/7又因为t为整数

所以t=1时

x =4；y =18；z =78

当t=2时

x =8；y =11；z =81

当t=3时

x =12；y =4；z =84

因为x、y、z都必须小于100且都是正整数，所以只有以上三组解符合题意： ①买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ②或买公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③或买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；

如果不要求都是正整数的话，当t=0时，,那么x=0，所以y=25，z=75 。

由上面运算得知，不要求公鸡、母鸡、小鸡都买的话，总共有四种方案可以满足百钱买百鸡；如果要求公鸡、母鸡、小鸡都需要购买的话，那么就有三种买鸡的方案可以满足百钱买百鸡。

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