[科普中国]-黄金分割与黄金三角形

你是否注意到这样一种现象：舞台上主持人主持节目时，所站的位置往往不是舞台的正中央。那么，主持人为什么不站在舞台正中央主持节目呢? 要回答这个问题，需要了解数学中有关“黄金分割”的知识。

17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”

那么，究竟什么样的分割是黄金分割呢？

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。

由于按上述比例设计的造型十分美丽，使用价值极高，因此这样的分割被称为黄金分割，这个近似比值0.618称为黄金分割比，也称中外比，其精确值为。

这个结论可以通过如下计算求得：

如图，设线段的长度为，点在靠近点的黄金分割点上，且，就是黄金分割数。事实上，根据黄金分割的定义，得

，故，

即。

所以，即，

故，移项得，

所以。

这是一个十分有趣的数字，通过简单的计算我们还可以发现：

， 。

数学中许多有趣的现象都与黄金分割数有关。

让我们先从一个数列开始，它的前面几个项是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。其特点是，除了前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。

斐波那契数列与黄金分割有着密切的关系，经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比，即…，。

由于斐波那契数都是整数，而两个整数之商是有理数，但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，会发现相邻两数之比的确非常接近黄金分割比。由此可知，上面的这个比值可以逐渐逼近黄金分割比这个无理数，当然只是“逐渐逼近”而已。

连接正五边形的所有对角线，由此产生的所有三角形，称作黄金分割三角形，简称黄金三角形。

黄金三角形有两种：

如图(1)中的等腰三角形。这个等腰三角形的两个底角为，顶角为。这样的三角形的底与一腰长之比为黄金分割比。

如图(2)中的等腰三角形。这个等腰三角形的两个底角为，顶角为。这样的三角形的一腰与底边长之比也为黄金分割比。

对于图(1)中的，作底角的平分线（例如的平分线）与对边相交，构成的三角形（例如和）仍是黄金三角形。

对于图(2)中的，在底边上取与腰长相等的线段（例如取），由此构成的三角形（例如和）仍是黄金三角形。

利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星及正五边形。

黄金分割在实际生活中的应用也非常广泛。本文开头所提出的舞台主持人主持节目时往往不是站在舞台的正中央，而是站在舞台长度的黄金分割点的位置，这样最美观，此时声音传播效果最好。

黄金分割具有严格的比例性、艺术性及和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创，转载时务请注明出处。