[科普中国]-丹尼尔表示定理

丹尼尔表示定理体现丹尼尔积分与通常抽象积分之间关系的重要定理。

简介丹尼尔表示定理是体现丹尼尔积分与通常抽象积分之间关系的重要定理。

设𝒦是集Ω上的一族实值函数组成的线性空间，假定𝒦上含有常值函数且关于格运算是封闭的，I为𝒦上的丹尼尔积分，且I(1)=1，则在σ(𝒦)上存在惟一的概率测度μ，使得每个f∈𝒦是μ可积的，且

丹尼尔积分丹尼尔积分是连续函数空间上的正线性泛函，它由丹尼尔于1919年引入，其意义在于给出一种定义和处理勒贝格积分的方法。

设𝒦为集Ω上一族实值函数组成的向量格，即f∈𝒦蕴涵|f|∈𝒦，f∧1∈𝒦；I为𝒦上的正线性泛函，即f,g∈𝒦,α,β∈R蕴涵又对f∈𝒦,f≥0蕴涵I(f)≥0。如果I满足条件：fn∈𝒦，fn↓0蕴涵或等价地，若由fn∈𝒦，fn↑f∈𝒦必可推出则称I为𝒦上的丹尼尔积分。1

抽象积分(abstract integral)

抽象积分是勒贝格积分的进一步抽象，是现代分析数学中的重要工具之一。

设(Ω,F,μ)是测度空间，f(x)是(Ω,F)中的可测函数，建立抽象积分∫Ωf(x)dμ的步骤与建立勒贝格积分或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的步骤基本相同，只需在定义中将勒贝格测度换成一般测度μ，相应的非负简单函数、非负可测函数、一般可测函数换成测度空间中的同名函数即可。

对于积分存在和可积两个概念也做类似定义，当(Ω,F,μ)是完备测度空间时，抽象积分的性质与勒贝格积分的性质基本相同，也有关于积分收敛性的三大定理（列维定理、法图引理、勒贝格控制收敛定理）。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学