[科普中国]-弗雷德霍姆理论

弗雷德霍姆理论是关于线性积分算子的基本理论之一，是弗雷德霍姆(Fredholm,E.I.)通过积分方程与线性代数方程组类比的方法（即把线性积分方程看成是“无穷维”线性方程组）于1900年获得的。

简介弗雷德霍姆理论是关于线性积分算子的基本理论之一。

设G是RN中具有非零测度的可测集，k(x,y):G×G→R1连续，D(λ)是k(x,y)的弗雷德霍姆行列式，D(x,y;λ)是k(x,y)的弗雷德霍姆第一子式，K是由k(x,y)确定的弗雷德霍姆线性积分算子，即

弗雷德霍姆理论由下列三个基本定理组成：

弗雷德霍姆第一定理若D(λ)≠0，则方程 对任给的连续函数f(x)，都有惟一连续解，且该解可以表为

弗雷德霍姆第二定理若D(λ)=0，则必存在某正整数r（称为是λ的指数），使得 有r个线性无关的连续解，并且它的任何连续解都可以表为这r个线性无关解的线性组合。

弗雷德霍姆第三定理若D(λ)=0，λ的指数为r，则有连续解的充分必要条件是其中ψi(x)(i=1,2,...,r)是转置方程的r个线性无关连续解。

证明上述定理是弗雷德霍姆(Fredholm,E.I.)通过积分方程与线性代数方程组类比的方法（即把线性积分方程看成是“无穷维”线性方程组）于1900年获得的，但他没有给出严格的证明。

弗雷德霍姆理论的严格证明是由希尔伯特(Hilbert,D.)在1904-1910年期间给出的。当k(x,y)是平方可积函数时，与上述定理类似的结论也是成立的。

推广弗雷德霍姆理论，可以推广到作用在巴拿赫空间上的全连续算子方程x=Ax+y上，其中A:E→E是全连续算子。这一推广就是泛函分析中里斯-绍德尔理论，它分别由里斯(Riesz,F.)和绍德尔(Schaader,J.P.)所提出。1

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学