[科普中国]-哈尔正交系

哈尔正交系是哈尔于1910年所建立的一个正交函数系。哈尔函数的全体成为[0,1]上的一个完备的规范正交系，称为哈尔正交系。

简介哈尔正交系是哈尔于1910年所建立的一个正交函数系。

哈尔函数定义

对于正整数 m 及 ，令

在(0,1)的其他点上，定义， 为其左、右极限的算术平均值，又定义 为 在 中的值， 为 在 中的值，称 为哈尔函数。

定义哈尔函数的全体成为[0,1]上的一个完备的规范正交系，称为哈尔正交系。

推广对于 ，称

为 f(x) 的哈尔展开式，也称为 f(x) 关于哈尔系的傅里叶级数，这里

f(x)的哈尔展开式不仅在[0,1]上几乎处处收敛于f(x)，而且在f(x)的连续点上一定收敛于f(x)，此外，在f(x)的一致连续的区间上，此展开式还一致收敛于f(x)。1

任给正整数 n，记，称

为f(x)的哈尔展开式的第 n 部分和 是一种逼近工具，若，记为f(x)的连续性模，则存在常数 C>0，使得

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学