[科普中国]-梯度下降流

梯度下降流（gradient descent flow）是由希尔伯特流形上泛函的负梯度向量场所生成的流。

简介梯度下降流是由希尔伯特流形上泛函的负梯度向量场所生成的流。

设M是希尔伯特流形，f∈C2-0(M,R)。在M上由f的负梯度向量场-▽f所生成的流η称为f的梯度下降流，或负梯度流，有时亦称为梯度流。

性质在过M上每点p的流线η(p,t)上，泛函f的值f(η(p,t))是随t的增大而递减的。1

梯度向量场梯度向量场是由希尔伯特流形上的Cn泛函的梯度所形成的切向量场。梯度向量场生成的动力系统比较简单，它们没有周期轨，而且所有摩尔斯-斯梅尔梯度向量场（一类简单的结构稳定的向量场）在所有梯度向量场是开稠的。

设是 n 维欧几里得空间上的一个光滑函数。由 f 所确定的上的梯度向量场定义为

其中

为 f 的梯度。这里之所以出现负号是一种习惯用法。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学