[科普中国]-科赫曲线

科赫曲线是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是de Rham曲线的特例。科赫曲线是出现在海里格·冯·科赫的论文中，是分形曲线中的一种。

简介科赫曲线是一种分形。其形态似雪花，又称科赫雪花、雪花曲线。其豪斯多夫维是。它最早《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》（1904年，法语原题：Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire）。1

科赫曲线是de Rham曲线的特例。

1.给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：

2.将线段分成三等份（AC,CD,DB）

3.以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC

4.将线段CD移去

分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。

科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。科赫雪花的面积是，其中S是原来三角形的边长。每条科赫曲线的长度是无限大，它是连续而无处可微的曲线。

记录以L系统：

字符 : F

常数 : +, −

公理 : F++F++F

规则: F → F−F++F−F

F ：向前

- ：左转60°

+ ：右转60°

画法1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；

2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；

3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

和皮亚诺类似：

1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的

2、总长度趋向无穷大

3、曲线上任意两点沿边界路程无穷大

4、面积是有限的

5、产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。（保守派数学大师们晕倒撞墙去吧）

Kohn曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学