[科普中国]-门格海绵

门格海绵（Menger sponge、Menger universal curve）是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。

定义门格海绵是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。1

结构门格海绵的结构可以用以下方法形象化：

从一个正方体开始。（第一个图像）

把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方一样。

把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体（第二个图像）。

把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。

性质门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯；同时，门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集。

门格海绵是一个闭集；由于它也是有界的，根据海涅-博雷尔定理，它是一个紧集。更进一步，门格海绵是不可数集，且具有勒贝格测度0。

门格海绵的拓扑维数是一，与任何曲线一样。门格在1926年证明了，它是一个通用曲线，就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚，这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数为一的紧度量空间。

门格海绵的豪斯多夫维为(ln 20) / (ln 3)（大约2.726833）。

门格海绵的表面积无穷大。

正式定义正式地，门格海绵可以定义如下：2

其中M0是单位立方体，且：

且i、j和k中最多只有一个等于1。

参见谢尔宾斯基三角形

科赫曲线

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学