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[科普中国]-重要性采样

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重要性采样(英语:importance sampling)是统计学中估计某一分布性质时使用的一种方法。该方法从与原分布不同的另一个分布中采样,而对原先分布的性质进行估计。重要性采样与计算物理学中的伞形采样相关。

简介重要性采样是蒙特卡洛方法中的一个重要策略。该方法不改变统计量,只改变概率分布,可以用来降低方差1。

重要性采样算法就是在有限的采样次数内,尽量让采样点覆盖对积分贡献很大的点。

目标其目标是用一种受控的方式改变仿真,以便增加稀少事件的数目,同时还能正确地确定解调差错概率。常规重要性采样(CIS)是一种降方差的仿真方法,它通过提供有偏噪声来实现,等效于使系统工作在一个较低的信噪比环境下。

原理假设为概率空间上的一个随机变量。我们想要估计X的期望值,记作E[X;P]。如果根据P随机抽取样本,估计的期望值即12

这一估计的精确度取决于X的方差,

而重要性采样的基本思想则是从另一个分布中抽取样本,用以降低E[X;P]估计的方差。进行重要性采样时,首先选择一个随机变量,使得E[L;P]=1,并满足P上几乎处处。由此,可以定义新的概率

于是,我们可以从P上抽样,通过变量X/L估计E[X;P]。如果成立,此时的估计便优于直接在原分布上采样得到的估计。

当X在Ω上不变号时,最优的L为。此时X/L*即为要估计的E[X;P],只需一个样本便可得到该值。然而由于L*与要估计的E[X;P]有关,在实际操作中我们无法取到理论上最优的L*。不过,我们仍可以采用如下方式逼近该理论值:

于是,要估计的期望值可改写为:

注意到,更优(即让估计值方差更小)的P会使得样本分布的频率与其在E[X;P]计算中的权重更加相关。这也是该方法得名“重要性采样”的原因。

重要性采样常用于蒙特卡洛积分。当P为均匀分布、时,E[X;P]即为实函数的积分。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学