[科普中国]-伪梯度流

伪梯度向量场是梯度向量场在不适合用来构造下降流时的一种替代物，最早由帕莱斯(Palais,R.S.)于1966年给出。

简介伪梯度向量场是梯度向量场在不适合用来构造下降流时的一种替代物。伪梯度向量场的概念及其存在性最早由帕莱斯(Palais,R.S.)于1966年给出。

当M是一般巴拿赫流形，f∈C2-0(M,R)时，余切向量场df不能用来构造下降流；

当M是希尔伯特流形而f∈C1(M,R)时梯度向量场∇f也不能用来构造下降流。伪梯度向量场是克服这两种困难的工具。

定义设M是C2-0巴拿赫-芬斯勒流形，f∈C1(M,R)，记K为f在M上的所有临界点所成之集，令= M\K。若V是上的一个C1-0(切)向量场，且满足条件：

1.；

2.，则称V是f的一个伪梯度向量场。

性质C2-0巴拿赫-芬斯勒流形上任一C1泛函的伪梯度向量场总是存在的。

由-V在上生成的流称为f的伪梯度下降流，或负伪梯度流，也常简称伪梯度流。f在负伪梯度流的流线上是下降的。1

梯度向量场梯度向量场是由希尔伯特流形上的C泛函的梯度所形成的切向量场。梯度向量场生成的动力系统比较简单，它们没有周期轨，而且所有摩尔斯-斯梅尔梯度向量场（一类简单的结构稳定的向量场）在所有梯度向量场是开稠的。

设是 n 维欧几里得空间上的一个光滑函数。由 f 所确定的上的梯度向量场定义为

其中

为 f 的梯度。这里之所以出现负号是一种习惯用法。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学