[科普中国]-卡拉西奥多里-哈恩延拓定理

卡拉西奥多里-哈恩延拓定理是关于测度延拓的重要结果。数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。

简介卡拉西奥多里-哈恩延拓定理是关于测度延拓的重要结果。

设μ是代数𝒜上的测度，μ*是由μ导出的外测度，𝒜*是μ*可测集的σ代数，则μ*限制到𝒜*上是μ的延拓；又若μ对于𝒜是σ有限的，∑是满足𝒜⊂∑⊂𝒜*的任何σ代数，则μ*是∑上惟一成为μ的延拓的测度。1

测度数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

**定义1：**构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数mE。我们将此集函数称为E的测度。

**定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }**是一集合函数，且ρ满足：

（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

则称ρ是定义在X上的一个测度。

延拓设E与F为两个集合，P为E的子集，而f为从P到F中的映射. 任一从E到F中的映射，如果它在P上的限制为f，则称该映射为f在E上的延拓。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学