[科普中国]-加托-泰勒公式

加托-泰勒公式（Gateaux-Taylor formula）是经典的泰勒公式在G微分意义下的推广。

简介加托-泰勒公式是经典的泰勒公式在G微分意义下的推广。1

设 X 和 Y 是巴拿赫空间，Ω是 X 的开凸子集， ,f:Ω→Y，设 h∈X使得x0+h∈Ω，若 f 在Ω 中每点 x 有有界n阶线性G微分，则成立下述泰勒公式

且

推论若映射 在Ω 上连续，则有

泰勒公式数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有n+1阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，fn(x)表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

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李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院