[科普中国]-巴拿赫极限

在数学分析中，巴拿赫极限（英语：Banach limit）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间上，对每个巴拿赫空间中的序列和复数满足一定条件的连续线性泛函。

介绍 在数学分析中，巴拿赫极限（英语：Banach limit）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间上，对每个 中的序列 和复数 满足：1

(1) （线性）；

(2)若对每个 有 ，则 （正定性）；

(3) ，其中S是移位算子，定义为 （移位不变性）；

(4)若x是收敛序列，则 .

的连续线性泛函。

因此， 是对连续线性泛函 的延拓，其中 是 中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法），也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

几乎收敛某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如 ，注意到 是常序列，并且

因此对每个巴拿赫极限而言，它以1/2为极限。

我们将每个巴拿赫极限 下有相同的 的有界序列 x称为几乎收敛的。

Ba 空间在 中给定收敛序列 ，如果考虑对偶 ，x通常的极限并不由的某个元素给出。实际上是的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，虽然能诱导出中的连续线性泛函，但并不是全部。每个上的巴拿赫极限都是的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在中。的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

本词条内容贡献者为:

李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院