[科普中国]-线性泛函延拓定理

线性泛函延拓定理亦称哈恩-巴拿赫延拓定理，是将线性子空间上的线性泛函延拓到整个空间的一个著名定理。

简介线性泛函延拓定理亦称哈恩-巴拿赫延拓定理，是将线性子空间上的线性泛函延拓到整个空间的一个著名定理。

设p(x)是线性空间E上的半范数，E0是E的线性子空间，如果在E0上定义的线性泛函f(x)满足|f(x)|≤p(x)，则能把f(x)延拓到全空间E上并使得上面不等式在E上仍成立。

推论把线性泛函延拓定理应用到赋范线性空间X有下列结论：

1、设M是X的线性子空间，则M上任何一个有界线性泛函都可保持范数不增大地延拓为X上有界线性泛函。

2、对任一非零向量x0∈X，存在X上的有界线性泛函f0，满足f0(x0)=‖x0‖，‖f0‖=1。

3、对X的任一闭线性子空间M及向量x0∈X\M，存在X上的有界线性泛函f0，使得f0(x0)>1，‖f0‖