[科普中国]-布尔代数运算律

布尔代数的运算律(operational rule of Boolean algebra)是布尔代数的基本运算法则，布尔代数中的变量代表一种状态或概念，数值1或0并不是表示变量在数值上的差别而是代表状态与概念存在与否的符号。布尔代数主要运算法则有：结合律，交换律，分配律，吸收律，幂等律等。

基本介绍布尔代数〈B，+，·，′，0，1〉有如下运算律，对B中任意元素a，b，c，有1：

1.结合律：(a+b)+c=a+(b+c) ，

(a·b)·c=a·(b·c).

2.交换律：a+b=b+a， a·b=b·a.

3.分配律：a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，

a+(b·c)=(a+b)·(a+c).

4.吸收律：a+a·b=a， a·(a+b)=a.

5.幂等律：a+a=a， a·a=a.

6.德·摩根律(反演律)：(a+b)′=a′·b′，

(a·b)′=a′+b′.

德·摩根律是德·摩根(De Morgan，A.)发现的利用归纳法可得德·摩根律的一般形式：

(a1+a2+…+an)′=a1′·a2′·…·an′，

(a1·a2·…·an)′=a1′+a2′+…+an′。

德·摩根律提供了由乘转换成加，由加转换成乘的方法1。

7.对合律(双重否定律)：(a′)′=a.

8.互补律：a+a′=1， a·a′=0.

9.零一律(幺元律)：a+0=a， a·1=a.

10.囿元律(极元律)：a+1=1， a·0=0.

布尔代数运算律的应用逻辑函数的化简

从以上逻辑代数基本定律的介绍中(特别是分配律、吸收律和反演律)不难发现，等式两边的表达式虽然不同，但却是等价的，逻辑功能是相同的。也就是说，同一函数可以有不同的表达形式，每一表达式都可画出与其相应的逻辑图。逻辑表达式最简单的标准有两个：一是所含乘积项的个数最少；二是在前一条件下，每个乘积项中变量的个数也最少。常用的化简方法有两种：代数法和卡诺图法。

(1)代数法

代数法(又叫公式法)化简是利用布尔代数的基本运算法则和基本定律对较复杂的逻辑函数式进行演算化简的方法。如何使逻辑函数式达到最简，在很大程度上依赖人们对逻辑运算掌握的熟练程度和实践经验。下面介绍几种常用的化简方法2。

①并项法

利用互补律：A+A'=1，并项后消去变量。

例 化简ABC+A'BC

解 Y=(A+A')BC=BC

②吸收法

利用吸收律：A+AB=A，吸收多余项，消去多余变量。

例 化简Y=AB+ABC

解 Y=(AB)+(AB)C=AB

或 Y=AB(1+C)=AB ·

③消去法

利用吸收律、分配律、摩根定律等消去多余因子。

例 化简Y=AB+A'C+B'C

解 Y=AB+(A'+B')C=AB+(AB)'C=(AB)+(AB)'C=AB+C

④配项法 !

利用A+A'=1，A+1=1等，先把一项拆成两项，再重新与其他项组合进行化简，消去更多的项。

例 化简Y=AB+BC+(AC)'

解 Y=AB(C+C')+BC+AC'=ABC+ABC'+BC+AC'

=(A+1)BC十AC'(B+1)=BC+AC'

代数法化简没有一个固定的模式，往往要综合运用多种方法。多加练习，熟能生巧，逐步积累经验才能运用自如。

(2)卡诺图法

卡诺图化简法是1953年由卡诺首先提出来用于化简逻辑函数，它是逻辑函数的最小项按相邻关系排列的方格图。有关卡诺图化简的方法2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学