[科普中国]-同一原理

同一原理(principle of identity)亦称同一法则，是相对同一概念而显现的一种关系。一个命题的条件和结论都惟一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题与其逆命题等效，同一原理是同一法的根据，根据这一原理，对于符合同一原理的命题，就可通过证明其逆命题来确定原命题成立1。

基本介绍如果命题的条件和结论所含的事项都是唯一的(指事件本身唯一，而不是指事件的个数唯一)，或它们的范围一样，那么这个命题的逆命题必然成立。这个法则叫做同一原理或同一法则。

例如：“中华人民共和国的首都是北京”。这个命题中，“中华人民共和国”是唯一的，“首都北京”也是唯一的，因此，它的逆命题“北京是中华人民共和国的首都”也是成立的。

然而，在命题“上海是工业城市”中，条件中的“上海”是唯一的，但结论中的“工业城市”却不是唯一的，也就是“上海”和“工业城市”的范围不一样，因此，它的逆命题“工业城市是上海”就不成立2。

同一原理的应用同一原理与同一法

一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一原理或同一法则。在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而改证它的逆命题成立的一种方法叫做同一法。在用同一法证题时，图形常常故意画成不正确的.要证“某形有某特性”，在某形和某特性都是独一无二的情况下，转而去证“有某特性的是某形”.同一法证题的步骤是：另作符合结论的图形，证明该图形与已知条件符合，由同一法则得所作图形与题设的图形重合，从而原命题得证。

同一法和反证法都是间接证法，但同一法不易掌握.可以利用同一法证明的题目，一般来说用反证法也行。

应用同一法的步骤：

(1) 判断命题符合同一法则；

(2) 作出符合结论的图形；

(3) 证明所作图形与已知条件相合，从而可以推出所作图形与已知图形相合。

【例1】证明三角形两边中点连线平行于三角形的第三边。

已知：△ABC中，D是AB中点，E是AC中点(如图)。

求证：DE∥BC。

证明：过D作BC的平行线交AC于E。

∵ AD=DB，∴ AE′ =E′C，即E′是AC的中点，但E是AC的中点，而一条线段的中点只有一个，因此，E′与E重合。

∴ DE′与DE重合。

由于DE′∥BC，∴ DE∥BC。

证明勾股定理的逆定理便可用同一法。

【例2】已知：如图，△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且c²=a²+b²，求证：∠C=90°。

证明：作△A′ B′ C′，使∠C′=90°，C'A'=b，B′C′=a，由勾股定理，得A′B′2=a²+b²=c²，∴A′B′=c，因此△A′B′C′≌△ABC，∴∠C=∠C′=90°

|| ||

这里，条件AB=c，BC=a，CA=b，且c²=a²+b²是唯一的，都是确定的数，结论∠C=90°也是唯一确定的，而△A′B′C′可以唯一确定，并且△ABC≌△A′B′C′，即图形重合，所以可以证明∠C=90°.

当一个命题及其逆命题都成立时，可用同一法，凡能够用同一法证明的问题，都可以改用反证法证明，但能够用反证法证明的问题，不一定能用同一法证明3。

【例3】已知：如图3，△ABC中，D、E是AB、AC的中点.求证：DE∥BC。

**证明：**假设DE不平行BC。过D作DE∥BC，交AC于E′。

∵DE′∥BC，AD=BD，

∴AE′=CE′.又∵AE=AE，

∴E点E′重合，

∴DE∥BC。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学