[科普中国]-分配格

分配格是一种组合构形，它是满足下述条件的格：对于格的任意元素x，y和z，均有x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)。由于格中结运算和交运算的对称性，上述条件等价于x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)，当L为分配格时，交运算对于结运算满足分配律，而且反之亦真。布尔格、除数格、理想格、链等均为分配格。

基本介绍分配格是格论中重要的一类格，设L是格，对任意x，y，z∈L，若下列条件之一成立：

L6 (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)=(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x)(自对偶中值定律);

L6′ x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z);

L6" x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z) (分配律);

L6''' (x∨y)∧z≤x∨(y∧z);

则称L为分配格，L6′和L6"是格论中最重要的恒等式，称为分配恒等式或分配律，它们是戴德金(J.W.R.Dedekind)研究数域理想时发现的，格L是分配的当且仅当L不含菱形格和五边形格。1951年，肖兰德(M.Sholander)用两个恒等式：x∧(x∨y)=x和x∧(y∨z)=(z∧x)∨(y∧x)表征了分配格。分配格的对偶格、子格、直积仍是分配格。分配格的理论是格论的起源和基础，它对格论的研究、发展和应用起了重大的作用1。

定义 设S是格，如果格S中的运算∨和∧满足分配律，即对任意a，b，c∈S，有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，

则称S为分配格2。

举例分析例1 设S是一个集合，则是由格所诱导的代数系统。由集合的并对交和交对并都适合分配律知，格是分配格3。

例2 如图1所示的两个格都不是分配格。

这是因为图1(a)中，b∨(c∧d)=b∨e=b，而(b∨c)∧(b∨d)=a∧a=a，

所以 b∨(c∧d)≠(b∨c)∧(b∨d)。

在图1(b)中，c∧(b∨d)=c∧a=c，而(c∧b)∨(c∧d)=e∨d=d，

所以 c∧(b∨d)≠(c∧b)∨(c∧d)。

应该注意的是，在分配格的定义中，必须是对任意的a，b，c∈S都要满足分配

律。因此，决不能因验证格中的某些元素满足分配等式就断定这个格是分配格。

如图1(b)所示的格虽不是分配格，但也有

d∧(b∨c)=d∧a=d=e∨d=(d∧b)∨(d∧c)

b∧(c∨d)=b∧c=e=e∧e=(b∧c)∨(b∧d)。

图1给出的两个具有五个元素的不是分配格的格是很重要的，因为可以证明如下的结论：一个格是分配格的充要条件是该格中没有任何子格与图1给出的两个五元素中的任何一个同构3。

相关定理分配格有类似模格的判定条件2。

定理1 一个格S是分配格，当且仅当S中不含有与钻石格或五角格同构的子格。

定理2 每个链是分配格。

证明设偏序集(S，≼)是链。先证明(S，≼)是格。

任取a，b∈S，根据链的定义，S中任意两个元素都有偏序关系，即a≼b或b≼a。不妨设a≼b，则a∨b=b，a∧b=a，所以a∨b∈S，a∧b∈S，从而(S，≼)是格。

下面证明(S，≼)是分配格。任取a，b，c∈S，只要讨论以下两种情况：

(1)b≼a且c≼a。

在此情况下，有b∨c≼a，b∧c≼a，因此a∧(b∨c)=b∨c，a∨(b∧c)=a。又因为b≼a，c≼a，所以a∧b=b，a∧c=c，a∨b=a，a∨c=a，从而(a∧b)∨(a∧c)=b∨c，(a∨b)∧(a∨c)=a∧a=a。于是有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨C)。

(2)a≼b或a≼c。

在此情形下，有a≼b∨C。不妨设a≼b，则a∧(b∨c)=a，且a∧b=a，于是有(a∧b)∨(a∧c)=a∨(a∧c)=口，从而a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)。又由a≼b可得a∨b=b，a∧b=a，从而(a∨b)∧(a∨c)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)。

综上所述，(S，≼)是分配格。

定理3 设S是一个分配格，那么，对于任意的a，b，c∈S，如果有b∨b=a∨c和a∧b=a∧c成立，则必有b=c。

**证明:**由于S是分配格，且已知a∨b=a∨c，a∧b=a∧c，因此b=b∧(a∨b)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c)=(a∧c)V(b∧c)=(a∨b)∧c=(a∨c)∧c=c。即有b=c，定理得证。

定理4 分配格必定是模格。

证明设S是一个分配格。对于任意的a，b，c∈S，如果b≼a，则a∧b=b。因此2

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)=b∨(a∧c)，从而S是模格。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学