[科普中国]-函数值分布论

函数值分布论就是研究自变量变化时，因变量如何变化的问题。在大量常见和重要的函数中，函数取每个值的次数是相似的，只有一小部分例外，这些例外的值就叫做“亏值”。

简介数量之间一定的依赖关系，在数学上叫做函数。如汽车按一定速度行驶，行驶路程的多少依赖于行驶时间的长短，在这里，时间叫自变量，路程叫因变量，它们之间的数量关系，就是一种简单的函数关系。

函数值分布论就是研究自变量变化时，因变量如何变化的问题。在大量常见和重要的函数中，函数取每个值的次数是相似的，只有一小部分例外，这些例外的值就叫做“亏值”。另外，当研究这些函数的变化情况时，在自变量变化范围的有些部分上，函数取值特别多，变化异常剧烈，数学上把这种现象描述为“奇异方向”。

历史函数值分布论的研究已有近百年的历史，从上世纪末到本世纪三十年代，逐步形成了这门学科的主要研究对象和概念，例如“亏值”、 “奇异方向”。四十年代后，由于把“亏值”、“奇异方向”互相孤立起来的形而上学思维方法，影响了函数值分布论研究的进展。

青年数学家杨乐、张广厚运用《矛盾论》的观点作指导，认为“亏值”是糙体性概念，反映了函数取值亏损和变化平缓的情况，而“奇异方向”是局部性概念，反映了函数取值多和变化剧烈的情况，两者构成既对立又统一的一对矛盾，终于找到了二者之间的具体联系，求出了“亏值”、数目和“奇异方向”数目之间关系的一个公式。这说明只有自觉地把唯物辩证法运用到科学研究中，才能有所前进。1

应用在第二次世界大战期间以及战后的几年里，函数值分布论的研究较为沉寂。但是从50年代中期以来，这方面的优秀工作又屡有出现。其中A.埃德雷与W.H.I.富克斯、A.A.戈尔德贝格关于亚纯函数的亏值与亏量的一系列研究，W.K.海曼关于亚纯函数结合于其导数的一个基本不等式，D.德拉辛关于奈望林纳理论的反问题的彻底解决以及奈望林纳猜想的彻底解决，A.韦茨曼证明了有穷级亚纯函数的每个亏量的立方根仍然构成收敛级数等则是其中杰出的代表。1973年，A.伯恩斯坦基于值分布论与傅里叶分析，引进了T*函数，并用以证明了所谓展布关系。以后，T*函数在单叶函数、整函数的最小模等方面也取得了应用。

函数值分布论还被推广到代数体函数（G.雷蒙多斯、瓦利隆、H.塞尔伯格、E.乌里希），亚纯曲线（H.外尔、J.韦尔、阿尔福斯、伍鸿熙）以及多复变函数（陈省身、R.博特、P.格里菲思、W.斯托尔）。围绕着推广奈望林纳的两个基本定理与亏量关系，每个方面都有不少研究工作。

在熊庆来的倡导下，庄圻泰、杨乐、张广厚等从事值分布论的研究，取得了显著的成果。具有代表性的研究工作有关于无穷级亚纯函数值分布的研究，奈望林纳第二基本定理的推广与亏函数，亚纯函数亏值数目与波莱尔方向数目的关系，波莱尔方向的分布规律，关于渐近值的研究，亚纯函数的辐角分布等。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学