[科普中国]-埃雷斯曼联络

微分几何中，埃雷斯曼联络（Ehresmann connection）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 一般情况下，它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名，他第一次这种想法正式化。

简介微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子，它以协变的方式取向量丛中截面的方向导数，也能用来阐述在 在特定向量方向上丛中截面为平行的概念：截面s沿着向量V平行，如果∇Vs= 0。所以一个协变导数提供了两个观念：微分算子以及各个方向上的平行。埃雷斯曼联络完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络将纤维丛中的切丛的某些子空间指定为“水平空间”。如果ds(V)处于水平空间中，则截面s是在V方向上是水平的（也即平行的）。在这里，我们把s视为从底空间M映射到向量丛E的函数s:M→E，且ds:TM→s*TE是向量的前推。水平空间组成TE的一个子向量丛。

如此一来直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是，它对于一般的纤维丛都是有定义的。而且，很多协变导数的特色得到了保留：平行移动，曲率和和乐。

然而此定义除了线性之外还失去了协变性。在经典协变导数中，协变性乃是导数的后验特性。在构造过程中，要先指定“非协变”克氏记号的变换法则，才能给出符合协变的导数。对埃雷斯曼联络而言，可借由引入作用在纤维丛里纤维上的李群，来强加一个推广的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用等变。

埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以表达为一个微分形式，和联络形式的情况类似。若一个群作用在纤维上，并且联络等变，则该形式也是等变的。而且，该联络形式也允许用曲率形式来定义曲率。

纤维丛上的埃雷斯曼联络令π:E→M为纤维丛。E上的埃雷斯曼联络由如下数据组成：

对于每一点x∈E，给定E在x点的切空间向量子空间Hx⊂TxE。Hx称为x点的水平空间。

随着x的变化，Hx必须定义出一个E的切丛的光滑子丛。（特别是，H必须有常数维度。）

令V= ker(dπ:TE→TM)为由所有沿着E的纤维方向的切向量组成的铅直丛。则Hx∩Vx= {0} 对于x∈E成立。

任何E的切向量必须可以分解为水平和铅直分量:TE=H+V。（特别是，根据上面第3条，这是一个直和分解。）

用更加看似深奥的术语来讲，满足属性1－4的这样的一个对水平空间的设定，精确地对应于给定一个射丛JE→E的光滑截面。

等价的有，令Φ为到铅直丛V的投影。这可以由上述TE到水平和铅直分量的直和分解得到。则Φ满足：

Φ= Φ

Φ:TE→V是一个丛的满射。

反过来，若Φ是满足1和2的向量丛映射，则H =kerΦ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。1

曲率令Φ为一埃雷斯曼联络。则Φ的曲率为

其中[-,-]表示Φ ∈ Ω(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括号。这样R∈ Ω(E,TE)就是一个E上取值在TE中的2－形式，定义为

或者说

其中X=XH+XV代表到H和V分量的分解。从上式可以看出，曲率为0当且仅当水平子丛是弗罗贝尼乌斯可积的。这样，曲率是否为0就是水平子丛能否构成纤维丛E→M的横截面的可积性条件。

一个埃雷斯曼的曲率也满足比安基恒等式（Bianchi identity）的一个扩展版本：

其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω(E,TE)和R∈ Ω(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括号。

水平提升埃雷斯曼联络也给出了将曲线从基流形M提升到纤维丛E的总空间并且使得曲线得切向量为水平向量的方式。这些水平提升是其它版本的联络表述中的平行移动的直接对应。

精确来讲，设 γ(t) 为M中穿过点P= γ(0) 的光滑曲线。令e∈EP为P上的纤维中的一点。γ 穿过e的一个提升就是一条曲线，它位于E中，提升是水平的，当曲线的每个切向量位于TE的水平子丛中：

对π和Φ利用秩-零化度定理可以证明每个向量v∈ TPM有唯一的水平提升。特别是，γ的切向量场在拉回丛γE的总空间上产生一个水平向量场。利用皮卡定理，这个向量场是可积的。这样，对于每个曲线γ和γ(0)的纤维上的一点e，对于足够小的时间t总是存在唯一的穿过e的γ的水平提升。

完备性埃雷斯曼联络允许曲线有局部水平提升。对于一个完备埃雷斯曼联络，曲线可以在整个定义域上水平提升。

和乐群联络的平坦性局部对应于水平空间的弗罗贝尼乌斯可积性。在另一个极端，非零曲率表示了联络的和乐群的存在。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学