[科普中国]-叠级数

叠级数(repeated series)亦称累级数，指各项均为级数的级数，即表达式∑∞m=1∑∞n=1amn，其中{amn}为二重序列。对叠级数，可以用普通级数的有关概念来定义其收敛性及其他概念。例如，对于∑∞m=1∑∞n=1amn，若对每个m，级数∑amn收敛于bm，且级数∑bm收敛，则称∑∞m=1∑∞n=1amn收敛，其和为∑bm的和。若∑∞m=1∑∞n=1|amn|收敛，则称∑∞m=1∑∞n=1amn绝对收敛。从一个叠级数收敛不能得到由同一个二重序列导出的另一叠级数收敛，即使都收敛也不一定彼此相等。例如，按如下定义amn：n=m+1时，amn=1，m=n+1时，amn=-1，对其他m与n，amn=0，则相应两个叠级数分别收敛于1与-1.当amn≥0(m，n∈N)时，∑m∑namn=∑∞kaφ(k)(可以是+∞)，其中φ是N到N×N上的任意一一对应，又，若二重级数∑∞m=1∑∞n=1amn收敛，对每个m，级数∑amn也都收敛，则∑∞m=1∑∞n=1amn收敛，且∑∞m,n=1amn=∑m∑namn1。

基本介绍若将无穷矩阵中的某一行元素依次相加，所得级数

称为行级数(repeated series by rows)。再将行级数依次相加，所得运算符号：

称为叠级数(repeated series)或累级数。自然，交换次序可得另一种叠级数2

叠级数的收敛①若行级数收敛(设和为Aj)，且级数也收敛(设和为)，则称叠级数收敛，收敛和为。

②同样，若级数收敛(设和为Ai)，且级数也收敛(设和为A*)，则称叠级数收敛，收敛和为A*2。

二重级数与累级数的关系定理1 若二重级数及行级数都收敛，则叠级数也必定收敛，且与二重级数有相同的和数，即

类似地，若二重级数及列级数都收敛，则叠级数也必定收敛，且与二重级数有相同的和数，即

当时，二重级数称为正项二重级数，对于正项二重级数的收敛性有下列定理。

定理2正项级数收敛的充要条件是部分和有上界，即有常数M，使

定理3 正项级数与累级数，有相同的收敛性及收敛和2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学