[科普中国]-保测动力系统

保测动力系统(Measure-preserving dynamical system)一个保测动力系统定义为一个概率空间和其上的一个保测变换.

定义

也就是说, 保测动力系统1

具有下面结构:

X是一个集合,

是X上的一个σ-代数,

是一个概率空间,

为一个可测变换, 并且保持测度, i. e. 对任意 满足

。

此时, 称T为概率空间上的一个保测变换。

概率空间概率空间是概率论的基础。概率的严格定义基于这个概念2。

概率空间(Ω,F,P)是一个总测度为1的测度空间（即P(Ω)=1）.

第一项Ω是一个非空集合，有时称作“样本空间”。Ω 的集合元素称作“样本输出”，可写作ω。

第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素称为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必须是一个σ-代数：

；

若，则；

若，，则

(Ω,F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合，在此集合上可定义其概率。

第三项P称为概率，或者概率测度。这是一个从集合F到实数域R的函数，。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。

概率测度经常以黑体表示，例如或，也可用符号"Pr"来表示。

可测变换可测变换（可测函数）是从一个测度空间到另一个测度空间之间的一个映射，它将前者中的可测集映射为后者中的可测集。

给定两个测度空间Ω1和Ω2，映射f：Ω1→Ω2称为从Ω1到Ω2的可测变换。若f满足：∀Ω2中的可测集S，f(S)是Ω1中的可测集。

设f是从Ω1到Ω2的可测变换，且f是双射，则称f为从Ω1到Ω2的双可测变换。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学