[科普中国]-贝西科维奇覆盖定理

数学上，贝西科维奇(Besicovitch)覆盖定理是实分析的一条覆盖定理。欧氏空间的任何一个有半径上限的闭球族中，可以取出几个子集，子集的球互不相交，且覆盖原来闭球族中所有球的中心，而子集的数目上限只取决于空间的维数。

定理叙述若 是 中的非退化（半径为正数）闭球族，当中的球的半径有有限上界，即1

而A为当中的球的中心组成的集合。那么F中存在子集 ，每个 是可数多个互不相交的球的集合，而且

其中 是一个仅依赖于n的常数。

证明先假设A是有界集合。依次选取球 ，选择 为 ，适合条件 。

若已选取 。令 。若 ，就停止；若否，选择 为Bj，适合条件 。

球 Bi有以下性质：

（1）以Bi的选取方法可知，若j>i，则 。

（2）将全部球Bi的半径缩至三分之一，从以上不等式，可证这些缩小的球 互不相交。

（3）若有可数无限多球Bi，因A有界，及缩小的球不交的性质，所以球Bi的半径趋向0。

（4） 。若Bi数目有限，则结果明显；若数目是无限多，假如有 ，那么F中有球B(a,r)，而从上一性质知，对足够大的j，有 ，与Bj的选取条件矛盾。

对k> 1，估算Bk和多少个之前选择的球Bi相交。先将这样的Bi按半径ri分成两组： 为第一组， 为第二组。

对第一组的球 ，将其缩小成 后包含在 中。 之间互不相交，故总体积不超过 的体积。又因 ，因此 相对 的比例有一个下限，而这下限仅由维数n决定。所以第一组的球的数目有一个仅依赖于n的上限。

对第二组的球，任取其中两个球 。考虑以 作顶点的三角形。因Bi,Bj都和Bk相交，又ak不在 之内，故有不等式

继而证出此三角形以ak为顶点的角 ，不小于一常数。

将第二组各个的球的中心和ak之间连成直线，则任意两条直线之间在ak的夹角不小于arccos(61/64)。ak为中心的单位球面上，这些直线中任何两条和球面的交点，其间的球面距离，等于直线间的夹角。直线间的夹角下限，就是交点间的球面距离下限。在单位球面上所能容纳的这样的点的数目，有一个只依赖维数n的上限，这也就是第二组球的数目上限。

Bk和之前的球相交的数目上限，是以上两组的上限的和，于是这个上限只依赖于维数n。这个上限加1设为Mn。现在从 B1开始依次把球放到子集Gi内。轮到Bk时，因为之前的球中最多有Mn-1个和Bk相交，因此在Mn个子集Gi中，必定有至少一个所包含的球都不和Bk相交，于是可以把Bk加进这个子集。这样就得出了子集Gi，满足条件

对一般的A，设

对每个正整数l，设

将以上结果用到 和 上，得到子集 ，满足条件

对，设，并设。那么的球互不相交，且有

因此定理得证。

参见维塔利覆盖引理

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学