[科普中国]-哈尔小波转换

哈尔小波转换是于1909年由Alfréd Haar所提出，是小波变换（Wavelet transform）中最简单的一种变换，也是最早提出的小波变换。他是多贝西小波的于N=2的特例，可称之为D2。

介绍哈尔小波转换是于1909年由Alfréd Haar所提出，是小波变换（Wavelet transform）中最简单的一种变换，也是最早提出的小波变换。他是多贝西小波的于N=2的特例，可称之为D2。1

哈尔小波的母小波（mother wavelet）可表示为：

且对应的尺度函数（scaling function）可表示为：

其滤波器（filter）h[n]被定义为

当n = 0与n = 1时，有两个非零系数，因此，我们可以将它写成

在所有正交性（orthonormal）小波变换中哈尔小波转换（Haar wavelet）是最简单的一种变换，但它并不适合用于较为平滑的函数，因为它只有一个消失矩（Vanishing Moment）。

哈尔变换Haar Transform最早是由A. Haar在1910年“Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme”中所提出，是一种最简单又可以反应出时变频谱（time-variant spectrum）的表示方法。其观念与Fourier Transform相近，Fourier Transform的原理是利用弦波sine与cosine来对信号进行调变；而Haar Transform则是利用Haar function来对信号进行调变。Haar function也含有sine、cosine所拥有的正交性，也就是说不同的Haar function是互相orthogonal，其内积为零。

以下面的哈尔变换矩阵为例，我们取第一行和第二行来做内积，得到的结果为零；取第二行和第三行来做内积，得到的结果也是零。依序下去，我们可以发现在哈尔变换矩阵任取两行来进行内积的运算，所得到的内积皆为零。

在此前提下，利用Fourier Transform的观念，假设所要分析的信号可以使用多个频率与位移不同的Haar function来组合而成，进行Haar Transform时，因为Haar function的正交性，便可求出信号在不同Haar function（不同频率）的情况下所占有的比例。

应用说明由于数字图片档案过大，因此我们往往会对图片做图像压缩，压缩过后的档案大小不仅存放于电脑中不会占到过大容量，也方便我们于网络上传送。哈尔小波转换其中一种应用便是用来压缩图像。压缩图像的基本概念为将图像存成到一矩阵，矩阵中的每一元素则代表是每一图像的某画素值，介于0到255间。例如256x256大小的图片会存成256x256大小的矩阵。JPEG影像压缩的概念为先将图像切成8x8大小的区块，每一区块为一8x8的矩阵。

在处理8x8二维矩阵前，先试着对一维矩阵作哈尔小波转换，

公式为。

范例对8x8的二维矩阵A作哈尔小波转换，由于AH是对A的每一行作哈尔小波转换，作完后还要对A的每一列作哈尔小波转换，因此公式为。以下为一简单的例子：2

列哈尔小波转换（row Haar wavelet transform）

行哈尔小波转换（column Haar wavelet transform）

由以上例子可以看出哈尔小波转换的效果，原本矩阵中变化量不大的元素经过变换后会趋近零，再配合适当量化便可以达到压缩的效果了。此外若一矩阵作完哈尔小波转换后所含的零元素非常多的话，称此矩阵叫稀疏，若一矩阵越稀疏压缩效果越好。因此可对定一临界值若矩阵中元素的绝对值小于此临界值，可将该元素令成零，可得到更大的压缩率。然而取过大的话会造成图像严重失真，因此如何取适当的也是值得讨论的议题。

运算量若应用于区域的频谱分析及侦测边缘的话，离散傅立叶变换、Walsh-Hadamard变换及哈尔小波转换的计算量见下表

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