[科普中国]-维恩图解

维恩图解(Venndiagram)亦称欧拉图解，是集合问题的一种解法。利用维恩图直观地解答集合问题称为维恩图解，在维恩图解中，方形的边框内包含了所有可能的事件，其中的区域(概率)等于1。圆圈代表特殊的事件。每一个圆圈所包含的区域代表了该事件发生的概率。

基本介绍图1是一个维恩图解的例子，其中两个事件(A和B)是独立的。这两个事件是相互排斥的，不可能同时发生，所以两个圆圈没有相互重叠。圆圈所在的区域表示为P(A)和P(B)，事件A和B发生的概率1。

你可以把维恩图解看成是箭靶子。设想朝这个靶子放出一枝箭，这枝箭落在靶子上任何区域的概率都是相等的，但是一定会击中这个靶子。靶子上的圆圈代表每一个可能的事件，所以如果射出的箭落在了圆圈A，就代表了事件A发生了。再进一步， 每一个圆圈所在区域大小代表该区域每一个事件发生的概率。其目的是将每一个圆圈代表的区域与每一个事件的概率相对应，但是通常很难(这里也没有做到)做到。在图1中，我无法将一枝箭同时射中A和B，所以，这两个事件不可能同时发生。

现在必须介绍一些其他的符号;

(读作A杠)表示事件A将不会发生。

(A∪B) (读作A联合B)表示事件A和B至少有一个发生。

(A∪B) 在维恩图解中是圆圈A和圆圈B覆盖的区域，而A∩B是一般指圆圈A和圆圈B共同覆盖的区域。在图1中，事件A和B是相互排斥的，举例来说，可以看到:

P(A∪B)= P(A)+ P(B)； (1)

P(A∩B)=0；

现在看看图2，A和B不是相互排斥的:它们可以同时发生，在维恩图解中用重叠代表。这个图中产生了四种不同的区域。可以从以下区域观察到：

P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B)， (2)

P(A∩B)= P(A)P(B) 在A和B相互独立时，或者

P(A∩B) = P(A)P(B/A) 在A和B不相互独立时1。

例题解析【例1】对于更为复杂的问题，维恩图解变得非常有用。如果一只绵羊可能患A、B、C和D疾病中的一种，概率分别为12%、8%、7%和2%。如果患任何一种疾病，都不能通过检验检疫。A、B和C三种疾病相互之间是独立的，但是疾病D不可能与疾病A、B或者C同时发生，原因是引起疾病D的寄生虫无法存活。任何一只特定的绵羊不能通过检疫检验的概率P(F)是多少?使用图3，通过计算区域并去除重复计算的区域可以得到：

P(F)=P(A∪B∪C)+P(D)

=P(A)+P(B)+ P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)+P(D)

= 0.267

所以，条件概率如何适合维恩图解?这一点可以非常容易地通过例子说清楚1。

【例2】我们现在想像投掷硬币三次。事件A是第一次投掷得到正面，事件B是第二次游投掷得到正面，事件C是最少有一次投掷得到正面，事件D是所有投掷都得到正面。图4画出了这个问题的维恩图解。

有8种可能的结果:

结果1：TTT

结果2：HTT

结果3：THT

结果4：TTH

结果5：HHT

结果6：THH

结果7：HTH

结果8：HHH

上面定义的事件由以下结果组成：

A={2，5，7，8}

B= (5，6, 8}

C={2,3,4,5,6,7,8}

D={8}

这些结果展示在维恩图解之中。由于对于一个平衡的硬币来讲，每一个结果都具有相同的概率，我们就可以看到：

P(A)=1/2

P(B) =1/2

P(C)=7/8

P(D)=1/8

我们看看概率P(A/B)=p (第一次投掷=H|第二次投掷=H)。结果(3，5，6，8}全部都在事件B中，但是只有{5，8}也在事件A中。这样，P(A/B)=P({5，8})/P({3，5, 6，8})=1/2。对于一个平衡的硬币而言，由于每次投掷是独立的，这也就是我们知觉所期望得到的结果。这个例子说明在维恩图解中，条件概率P(A/B)就是区域B同时包含在区域A中的比例1。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学