[科普中国]-向量值微分形式

数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用1。

正式定义设Μ是一个光滑流形， 是Μ上一个光滑向量场。我们记一个丛Ε截面的空间为 。一个阶数为ρ的Ε-值微分形式是Ε与 ，Μ的余切丛的ρ-次外幂，的张量积丛的一个光滑截面。这样的形式的空间记作

习惯上一个E-值 0-形式就是丛E的一个截面。即

等价地，一个E-值微分形式可以定义为一个完全斜对称的丛态射

设V是一个给定的向量空间。一个阶数为ρ的V-值微分形式是一个取值于平凡丛的微分形式。这样的形式的空间记作 。当 我们重新得到了通常的微分形式。

向量值形式的运算拉回与通常的形式一样，对向量值形式我们可以定义通过光滑映射的拉回。N上E-值形式通过一个光滑映射 φ:M→N的拉回是M上一个 (φ*E)-值形式，这里 form onM, where φ*E是E通过 φ 的拉回丛。

公式和通常的情形一样。对N上任何一个E-值p-形式 ω， 拉回 φ*ω 由

给出。

楔积与通常微分形式一样，可以定义向量值形式的楔积。一个E1-值p-形式与一个E2-值q-形式的楔积是一个自然的 (E1⊗E2)-值 (p+q)-形式:

定义就和通常的微分形式一样，只不过实数乘法为张量积取代：

特别地，一个通常（R-值）p-形式与一个E-值q-形式的张量积自然是一个E-值 (p+q)-形式（因为E与平凡丛M×R的张量积自然同构于E）。对ω∈ Ω(M) 和η∈ Ω(M,E) 我们有通常的交换关系：

一般地，两个E-值形式的楔积不是另一个E-值形式，而是一个 (E⊗E)-值形式。但是，如果E是一个代数丛（也就是一个代数的丛而不仅仅是向量空间）则与E中的乘法复合得到一个E-值形式。如果E是一个交换结合代数，则在此修改后的楔积下，所有E-值微分形式的集合

成为一个分次交换结合代数。如果E的纤维不交换则 Ω(M,E) 不是分次交换的。

外导数对任何向量空间V，V-值微分形式上有一个自然的外导数。这只不过是通常的外导数作用在关于V的任何一个基的分量上。具体地说，如果 {eα} 是V的一个基，则V-值p-形式 ω = ωeα的微分为：

更一般地，上面的注可应用于M上任何平坦向量丛（即一个转移函数是常数的向量丛）E之E-值形式。上面定义的外微分是E的任何局部平凡化。

如果E不是平坦的则E-值形式上没有自然的外微分。需要在E上选取一个联络。E上一个联络是一个将E的界面变为E-形式的线性微分算子：

如果E装备有一个联络 ∇，则有惟一的一个共变外微分延拓了 ∇

共变外微分由线性与等式

刻画，这里 ω 是一个E-值p-形式而η 是一个通常的q-形式。一般地，不一定有d∇= 0。事实上，这当且仅当联络 ∇ 平坦（即曲率消失）。

李代数值形式向量值形式一个重要的特例是李代数值形式。设 是一个李代数，则有 -值形式。这样的形式在主丛的联络以及嘉当联络的理论中有重要应用。2

因为任何李代数有一个双线性李括号运算，两个李代数值形式的楔积可与李括号运算复合得到另一个李代数值形式。这个运算通常记为 [ω∧η]，表明涉及两个运算。例如如果 ω 和 η 是李代数值1-形式，则有

在此运算下一个流形M上所有李代数值形式成为一个分次李超代数。

主丛上的基本或张量性形式设E→M是M上一个秩k光滑向量丛，π: F(E) →M是E（相伴的）标架丛。E通过π的拉回同构于平凡丛 F(E) ×R。从而，M上一个E-值形式的拉回决定了 F(E) 上一个R-值形式。不难检验这个拉回形式关于 GLk(R) 在 F(E) ×R上的自然作用左等变，且在铅直向量取值上为零（F(E) 位于核 dπ中的切向量）。F(E) 上这样的向量值形式之重要足以获得一个特别的名字：他们被称为 F(E) 上的基本或张量性形式。

设π:P→M是一个（光滑）主G-丛，令V是一个固定的向量空间以及表示ρ:G→ GL(V)。P上一个 ρ 型基本或张量性形式是水平且等变的，如果：

1. 对所有g∈G，且

2. 其中至少有一个vi是铅直的（即 dπ(vi) = 0）。

这里Rg表示通过g∈G的左平移。注意这对 0-形式第二个条件是空虚的真（vacuously true）。

给定P和ρ如上，我们定义构造相伴丛E=P×ρV。P上的张量性形式一一对应于M上的E-值形式。与主丛 F(E) 的情形一样，M上E-值形式拉回到P上的V-值形式，这正好是P上的 ρ 型基本或张量性形式。反之给定P上任何一个 ρ 型张量性形式我们直接地可以构造M上的相应的E-值形式。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学