[科普中国]-最优保性能控制

最优保性能控制，是指掌握住最佳实现预定目的或者规定用途的能力，使其不超出范围。

控制约束的不确定离散系统最优保性能控制对一类具有范数有界时变参数不确定性和控制输入约束的离散时间线性系统，采用线性矩阵不等式处理方法，导出了保性能控制律存在的条件，证明了该条件等价于一组线性矩阵不等式的可行性问题，并用这组线性矩阵不等式的可行解给出了保性能控制律的一个参数化表示。进而，通过建立并求解一个凸优化问题，给出了具有控制约束的不确定离散系统最优保性能控制律设计方法。1

保性能控制律设计满足控制约束性能控器的存在条件。

定理1对系统和性能指标,若存在正常数α,矩阵 K∈Rm×n，对称矩阵Z ∈Rn×n和对称正定矩阵P∈Rn×n，使得对所有允许的不确定性,矩阵不等式成立，则u(k)= Kx(k)是系统的 一个具有性能矩阵P和满足约束条件的保性能控制律。其中(Z)ii表示矩阵Z的对角线上的第i个元素。

证明：由于矩阵K和矩阵P满足矩阵不等式,故由定义1知，u(k)=Kx(k)是系统(1)的一个保性能控制律，且闭环性能指标值满足J ≤xT0Px0。从引理1及其证明知，矩阵P是对应闭环系统的一个Lyapunov矩阵，因此，由不等式可得:对任意的正整数k，闭环系统状态x(k)满足xT(k)Px(k)≤α。

定理1的条件中包含有参数不确定性，因此难以检验。以下定理进一步用一组线性矩阵不等式的可行性给出了满足约束条件的保性能控制律的存在条件，并用这组线性矩阵不等式的可行解给出具有输入约束的保性能控制律的构造方法。

定理2若存在标量α，ε,矩阵Y和对称矩阵X 、Z，使得以下矩阵不等式成立。

不等式组是关于变 量α,ε，X，Y，Z 的线性矩阵不等式组。因此，可以应用atlab软件所提供的LMI工具箱中的命 令feasp来求解该线性矩阵不等式系统的可行性问题，并在可行的情况下，给出一个可行解，利用这个可行解可以构造出所需要的保性能控制律。

定理2给出了满足输入约束的一组保性能控制律的参数化表示，利用这一参数化表示可以求出使得对应的闭环系统保性能最小化的最优保性能控制律。最优保性能控制律可以通过求解优化问题得到。1

示例考虑一个倒立摆系统，该对象的一个离散化模型是

x(k +1)=(A+DfE1)x(k)+(B+DfE2)u(k)

式中：x=[θθyy] T∈R4———系统的状态向量，θ———摆杆的偏移角，y———小车的位 移，u∈R———作用在小车上的力，f——反映模型参数不确定性的未知参数，且满足f2≤1,

系统中的控制输入u受到约束

-3≤u≤3

要求设计该系统满足控制约束的最优保性能控制律，使得性能指标最小化。其中

Q=diag{2、2、0.5、0.5}，R=0.01

建立相应的优化问题，应用Matlab软件LMI工具箱中的mincx命令，可得该优化问题有解。进而根据定理，得到所考虑系统的最优保成本控制律

u(k)=[5.5231、 1.7204、0.2277、 0.7625]x(k)

相应的闭环系统保性能J=74.3971。

若不考虑控制输入u的约束，则根据文献的方法，得到所考虑系统的最优保性能控制律

u(k)=[7.8932、2.5186、0 .4336、1.1516]x(k)

相应的闭环系统保性能J=56.7078。对比两种控制方法可以看出：由于考虑了系统的控制约束，系统的性能进一步变坏。1

不确定离散时间系统的H2/H∞最优保性能控制针对具有两个不同被调输出的一类不确定离散时间系统，研究其H2/H∞状态反馈保性能控制问题。基于线性矩阵不等式处理方法，推导出存在H2/H∞保性能控制律的充分必要条件，并用一个线性矩阵不等式的可行解给出了所有保性能控制律的参数化表示。进而通过建立和求解一个凸优化问题,给出了H2/H∞最优保性能控制律设计方法。2

问题描述考虑由态方程描述的不确定离散系统中，x(k)∈Rn是系统的状态向量，u(k)∈Rm是控制输入，w(k)∈Rp是外部扰动输入，z0(k)∈Rq和z1(k)∈Rr是被调输出，A，B1，B2，C0，C1，D0，D1是描述名义系统模型的已知常数矩阵，ΔA和ΔB1是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵。考虑的参数不确定性假定是范数有界的，且具有如下形式

[ΔA、ΔB1]=HF[ E1、E2]

式中F∈R i×j是满足

FTF≤I

的不确定矩阵，H，E1和E2是已知的常数矩阵，它们反映了不确定参数的结构信息。

研究的问题是设计一个状态反馈控制律

u(k)=Kx(k)

满足设计指标的控制律称为系统的H2/H∞保性能控制律。-J(K)一般依赖于所选取的控制律。使得最小化的保性能控制律称为系统的H2/H∞最优保性能控制律。2

保性能控制律方法的有效性通过一个例子来说明提出的保性能控制律设计方法的有效性。

C0=[1 1 1]，D0=1

C1=[ - 1、1、0]，D1=0.5

H=[0.25、- 0.50、0.75] T

E1=[0、0.50、1.00]，E2=0

给定γ=10，采用MATLAB中有关LMI的相关软件，可方便地求得相应的优化问题是可解的,因此，根据定理可得到所考虑系统的H2/H∞最优保性能控制律为

u(k)=[0.96、0.78、0.63]x(k)

对所有允许的参数不确定性，闭环系统关于被调输出z0(k)的H2性能指标满足J(K)≤ 22.12，被调输出z1(k) 满足‖Gwz1 (z)‖∞