[科普中国]-复对称矩阵

复对称矩阵(complex symmetric matrix)是一种对称矩阵，指aij=aji(i，j=1，2，…，n)的n阶复矩阵A=(aij)。任何n阶复矩阵相似于复对称矩阵。复对称矩阵与实对称矩阵的显著区别之一是不一定能对角化，但是，对于复对称矩阵仍然有类似于自伴矩阵谱定理那样的分解。

基本介绍复对称矩阵指aij=aji(i，j=1，2，…，n)的n阶复矩阵A=(aij)。任何n阶复矩阵相似于复对称矩阵，任何复对称矩阵S正交相似于对称矩阵，即存在正交矩阵T，使，其中

是准对角形矩阵，子块E(p)是p阶单位矩阵，子块

称为复对称矩阵S的标准形1。

相关分析矩阵A∈Mn是对称的，是指A=AT，在许多场合，所研究的对称矩阵只有实元素，因而它们是实Hermite矩阵2。

但是，在有些情形，我们要与复对称矩阵打交道，一个例子是研究复平面中单位圆盘的正则解析映射，如果f(z)是单位圆盘上的正则解析函数，又如果f(z)是适合f(0)=0和f'(0)=1的标准化了的函数，那么，f(z)是一一的(有时称为单叶的)， 当且仅当

对满足|zi|0，使得对所有x∈C2n和所有n=1，2，...有

根据Nebari定理，这个条件成立， 当且仅当存在一个几乎处处有界的Lebesgue可测函数F(t): F(t):R→C，它的Fourier系数是已知数；关于F(t)的本质边界恰好是上述不等式组的常数c。

在实际应用中复对称矩阵似乎不像复Hermite(或实对称)矩阵那样几乎经常出现，但是前两个例子说明，它们还是出现了，虽然复对称矩阵不一定可对角化，可是复对称矩阵有一个类似于Hermite 矩阵的谱定理的分解，并且可以用逻辑上类似的方法来证明它，我们首先证明一个与Schur三角分解定理类似的定理，它说明，包括对称矩阵在内的一类矩阵总可以分解成，其中U是西矩阵，是上三角矩阵，如果，上三角矩阵是对称的，则它必定是对角矩阵2。

定理1 设A∈Mn是给定的，那么存在西矩阵U∈Mn和上三角矩阵∈Mn使得，当且仅当的所有特征值是非负实数，在这个条件下，的所有主对角元可以选取非负值。

每个对称矩阵A∈Mn有如下性质:的所有特征值都是非负的。该特殊形式已包含在上述定理中，人们通常把它归功于Schur(1945). 但是较早的证明是由Hua(1944)，Siegel(1943)和Jacobsen(1939)提出的；而历史的优先权显然应该属于Takagi(1925)。

推论(Takagi分解) 如果A∈Mn是对称矩阵(A=AT)，则存在西矩阵U∈Mn和非负实对角矩阵Σ=diag(σ₁，..σn)使得。U的诸列是由的特征向量组成的标准正交组，而Σ的相应对角元是的相应特征值的非负平方根2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学