[科普中国]-海涅－康托尔定理

海涅-康托尔定理，以爱德华·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧度量空间，则每一个连续函数都是一致连续的。1

定义M是一个紧度量空间，则每一个连续函数

f:M→N

其中N是度量空间，都是一致连续的。

例如，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。1

证明假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题

，使得对于所有M内的x和y，都有

的否定是：

，使得，使得且。

其中d和 分别是度量空间M和N上的距离函数。

选择两个序列xn和yn，使得：

且

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，存在两个收敛的子序列（收敛于x0，收敛于y0），因此：

但由于f是连续的，且和收敛于相同的点，因此这是不可能的。2

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学