[科普中国]-黑林格－特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是数学泛函分析的定理，以德国数学家恩斯特·黑林格和奥托·特普利茨命名。1

叙述设 为希尔伯特空间， 是处处定义的对称线性算子，即对任意 都有等式

。

那么， 有界（因此也是连续）。

证明从闭图像定理可知，只需证明：如果序列 趋于0， ，那么 。因为内积在 上连续，故得

=0

所以y=0.

推论1、任何对称且在 上处处定义的算子是自伴算子。

2、无界自伴算子最多只能定义在希尔伯特空间的一个稠密子集上。

物理结果这定理带出了量子力学的数学基础的一些技术难题。量子力学中的可观察量对应到某个希尔伯特空间上的自伴算符，但一些可观察量（如能量）的算符是无界的。这定理说这些算符不能处处定义，只能定义在稠密子集上。

以量子谐振子为例。这时希尔伯特空间是，即上平方可积函数空间，能量算符定义为（设其单位选取使得）

这算符是自伴无界的（其特征值为1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整个上定义。2

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学