[科普中国]-勒贝格微分定理

数学上，勒贝格微分定理是实分析的一条定理。这条定理大致是说，一个局部可积函数在几乎每点的值，都是函数在该点为中心的无限小的球上的平均。换言之，该函数的定义域上几乎处处都是勒贝格点。

定理叙述设 为局部可积函数，m为 的勒贝格测度。那么 中几乎处处的x都符合1。

证明因为这定理是关于函数的局部性质，不失一般性，可假设函数f定义在有界集合中，故f为可积函数。

定义

那么这定理就是对几乎处处的x有Tf= 0。只需证对任何y> 0，集合{Tf>y}的测度为零。

对连续函数，这定理显然成立。连续函数在 中稠密，故此对任意正整数n，有连续函数g使得 2。

令 。由于g连续，有Tg= 0。

用三角不等式有

设 。（Mh为h的哈代－李特尔伍德极大函数。）从上式得

因为 ，所以有

若Tf>y，则有Mh>y/2或者|h| >y/2。因此

由哈代－李特尔伍德极大不等式得

由积分的基本性质有 ，故得 。因此

因为上式对所有正整数n成立，从而知m{Tf>y}=0。定理得证。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学