[科普中国]-波斯尼科夫塔

在代数拓扑和同伦论中，波斯尼科夫塔（Postnikov Tower或称：波斯尼科夫系统）是关于CW复形在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说，给定一个连通的CW复形 X,X 以分解成一系列CW复形的逼近，使得每一个复形都是它前面一个复形和一个Eilenberg-McLane空间(Eilenberg-McLance space)的纤维丛乘积。

波斯尼科夫塔定理定理: 任给一个连通的CW复形，记其阶同伦群为。对于每一个自然数，存在一组的纤维丛，其纤维(fiber)为，和CW映射，使得

1、如下图表可交换

2、诱导了阶数小于等于的同伦群的同构。1

在上面的定理中，为Eilenber-McLance空间，即同伦群为，其余为0的CW复形。我们称上面的纤维丛序列为Postnikov塔，并且有

构造上述定理的证明过程实际上就是波斯尼科夫塔的构造过程。我们从构造 开始：实际上，对于，我们不停地往其上贴维数大于n的胞腔使得的大于n阶的同伦群都变得平凡，记之为，则我们有

按照同样的方法，我们可以构造，并且有

代数拓扑里面的一个定理说，每一个包含映射实际上都可以看成一个纤维丛，那么把上面这一串包含映射转换成纤维丛的语言，就得到Postnikov塔，并且可以证明每个纤维都是一个Eilenberg-McLane空间。2

应用如前所述，波斯尼科夫塔给出了CW复形的一种同伦意义下的分解。原则上，根据同伦正合列(homotopy exact sequence)或者塞尔谱序列我们可以根据一个CW复形的波斯尼科夫塔计算出该复形的同伦群和同调群。

虽然如此，波斯尼科夫塔的应用要等到 D. Quillen，陈国才(K.-T. Chen)特别是 D. Sullivan的有理同伦论(rational homotopy theory)发展以后才能够得到更加精妙的应用。

自1980年代以来，物理特别是量子场论的思想非常深刻地影响了数学的发展。物理学家所用的一些工具，以及思考问题的方法在同伦论中也有所反映。波斯尼科夫塔，有理同伦论，还有前后出现的Stasheff的同伦结合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的operad概念等等，经过量子场论的重新考察，已经非常紧密地联系起来，成为代数拓扑里面一个非常活跃的研究领域。3

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学