[科普中国]-Θ函数

数学中，Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论（descent theory）中，此来自线丛条件。1

雅可比Θ函数雅可比Θ函数取二变量 与 ，其中 为任何复数，而 为上半复平面上一点；此函数之定义为：

若固定 ，则此成为一周期为1的单变量 整函数的傅里叶级数：

在以 位移时，此函数符合：

其中a与b为整数。2

辅助函数可定义辅助函数：

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量 替换了 ，而称本条目中的Θ为 为 为 为 。

若设 ，则我们可从以上获得四支单以 ，为变量之函数，其中 ,取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得：

是为四次费马曲线。3

雅可比恒等式雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：

则

以nome q表示Θ函数我们可用变量 与 ，代替 与 ，来表示ϑ。设 而 。则ϑ可表示为：

而辅助Θ函数可表示为：

此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。4

乘积表示式雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数 与 ，其中 而 ，则

此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》。

若用nome变量与表示，则有：

由此得到Θ函数的积公式：

三重积等式左边可以扩展成：

即：

这个式子在z取实值时尤为重要。 各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

积分表示式雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

与黎曼ζ函数的关系黎曼尝用关系式

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

而此积分于替换 下不变。z非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

与维尔斯特拉斯椭圆函数之关系雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：

其中二次微分相对于z，而常数c使的罗朗级数（于 z = 0）常项为零。

与模形式之关系设η为戴德金η函数。则

解热方程雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有

此解此下方程：

于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。5

与海森堡群之关系雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

推广若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数

其中为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

中，称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学