[科普中国]-舒尔正交关系

舒尔正交关系（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此关系可借由舒尔引理证明。

有限群令是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群，的一个不可约矩阵表示的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 是酉的：

这里是表示的（有限）维数。正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

这里是的复共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示，则克罗内克函数是单位，如果与不等价则为零。其他两个克罗内克函数则要求行与列的指标必须相等（和）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

对，此式对任何不等于单位表示的不可约表示成立。1

例子三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作（对称群）。这个群同构于点群，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作而在情形通常写成 。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

元素 (1,1) 的正规化为：

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

直接推论矩阵的迹是对角矩阵元素之和，

所有迹的集合是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

这帮助我们确认不可约表示在具有特征标的可约表示中包含的次数。

例如，如果，这个群的阶是，则在给定“可约”表示中包含的次数是

紧群有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。每个紧群G 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。2将这个测度记成。设是G的不可约表示的一个完备集合，设是表示的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果，则：

2)如果是表示空间的一个正交规范基，则：

这里是的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

例子一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角：。界限是以及。

体积元素的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度）的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重而 n, ψ 参数化给出权重t，其中。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

简记成：

正交关系具有形式：

群的体积是：

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix），它们的维数是，故：

他们满足：

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学