[科普中国]-哈密尔顿－凯莱定理

在线性代数中，凯莱-哈密顿定理(Cayley–Hamilton theorem)（以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名）表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

定义明确地说：设 为给定的 矩阵，并设 为 单位矩阵，则 的特征多项式定义为：

其中 det 表行列式函数。凯莱-哈密顿定理断言：

凯莱-哈密顿定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除，这在寻找若尔当标准形时特别有用。

例子举例明之，考虑下述方阵：

其特征多项式为

此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理1：

此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：

例如，为了计算{\displaystyle A^{4}}，可以反复利用上述关系式：

或是，如果要计算 ，也可以假设：

然后，依照前面的特征多项式之两解 ，代入后可以得到

然后解方程后求出 ，便可得 .

此外，凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

注：一般而言，若 矩阵 可逆（即： ），则 可以写成 的幂次和：特征多项式有如下形式

将方程式 同乘以 ，便得到

定理证明以下考虑布于域 上的矩阵2。

凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若 是 矩阵，而 表其伴随矩阵，则

取 ，便得到 。此式对所有 皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环内成立。

设 ，矩阵 赋予 一个 -模结构： 。考虑 模 ，我们有 -模之间的“求值态射”：

固定 ，对 中的等式

右侧取 后得到 ，左侧取 后得到 。明所欲证。

一个简单的证明： 令：

由:

得：

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

在等式两边t的i次项系数分别乘以A, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

得证.

抽象化与推广前述证明用到系数在 的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环 上的任何有限生成自由模（向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学