[科普中国]-超越式

超越式是非代数式的解析式，指不能对变数字母和数用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的解析式。它包括无理数指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式、双曲函数式、幂指函数式等。

定义初等数学运算分为初等代数运算和初等超越运算。一类是初等代数运算，包括加、减、乘、除、正整数次乘方、开方、有理数次乘方；另一类是初等超越运算，初等超越运算，包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算。根据运算不同，解析式分为两大类。

对字母只进行初等代数运算的解析式称为代数式，如2x2-3xy+y2等都是代数式。

对字母进行了有限次初等超越运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式，如：ln2x、sin(lgx+x)等，都是超越式。

超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解。

当一元方程ƒ(z)=0的左端函数ƒ(z)不是z的多项式时，称之为超越方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。

具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程。例如2x=x+1，sin x+x=0。

超越数超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…（a=1/101!+1/102!+1/103!+…），并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。1

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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所