[科普中国]-卡塔朗猜想

设 Z，N，Q 分别表示全体整数，正整数以及有理数的集合。1844 年，Catalan曾经猜测：正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。

凯特兰于1842 年提出：“除了8=2^3，9=3^2以外没有两个连续数都是正整数乘幂的猜想”。即不定方程x^p+1=y^q，其中p ，q 均是素数，除了8=2^3，9=3^2 以外没有其它的正整数解。160 多年来数学家们证明了下列定理：欧拉(Euler)首先证明了不定方程x^2-1=y^q，当q=3 时猜想成立；大约1961 年卡塞尔斯证明了不存在三个相邻的正整数是完全幂。1962 年柯召证明了当q > 3 时，不定方程x^2-1=y^q 无正整数解。

另外，《数学猜想集》的定理1.3.16 “不定方程x^p+1=y^q，q 是奇素数，没有x > 0，y >0 的正整数解”。

概述设 Z，N，Q 分别表示全体整数，正整数以及有理数的集合。1844 年，Catalan曾经猜测：正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。显然，上述猜想可表述为1

猜想 1.1 方程

，x，y，m，n ∈ N，m > 1，n > 1 (1.1)

仅有解 (x，y，m，m) = (3，2，2，3)。

这是数论中的一个著名难题，一百多年来人们曾对此有过大量的研究。 例 如，Lebesgue证明了：方程 (1.1) 没有适合 2|n 的解 (x，y，m，n)；柯召证明了：方程 (1.1) 仅有解 (x，y，m，n) = (3，2，2，3) 适合 2|n。 2004 年，这一猜想最终由Mihˇailescu完全解决。

1986 年，Shorey 和 Tijdeman 将 Catalan 猜想扩展到了有理数的范围，提出了以下猜想：

猜想 1.2 方程

，X，Y ∈ Q，X > 0，Y > 0，m，n ∈ N，m > 1，n > 1，mn > 4 (1.2)

仅有有限多组解 (X，Y，m，n)。

上述猜想称为广义 Catalan 猜想。 由于该猜想与著名的广义 Fermat 猜想有直接的联系，所以这是一个很有意义但又非常困难的问题，目前仅解决了一些 极特殊的情况。例如，vander Poorten证明了：对于给定的 S 集合，即由有限多个素数经乘法生产的正整数的集合，方程 (1.2) 仅有有限多组解（X，Y，m，n）可使 X 和 Y 都是 S - 整数，即分母是该 S 集合中元素的有理数。1

证明广义Catalan 猜想在mn是偶数时的情况

证明：x，y和z中有一数的素因数给定时，该猜想是正确的

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所