[科普中国]-一次不定方程

一次不定方程(linear indeterminate equation)亦称线性不定方程，是一类重要的不定方程，指未知数多于一个的一次方程。设a₁, a₂,...,an是非零整数，b是整数，称关于未知数x₁, x₂,...,xn(n≥2)的方程a₁x₁+a₂x₂+...+anxn= b是n元一次不定方程。方程a₁x₁+a₂x₂+...+anxn= b有整数解的充要条件是(a₁, a₂,...,an)|b。

一次不定方程简介设a₁, a₂,...,an是非零整数，b是整数，称关于未知数x₁, x₂,...,xn(n≥2)的方程

是n元一次不定方程，或称非零的ai∈Z(i=1，2，…，s)，s>1，且n∈Z的方程

是s元一次不定方程1。

若存在整数满足方程，则称是方程的解，或说是方程的解。

定理1 方程a₁x₁+a₂x₂+...+anxn= b有整数解的充要条件是(a₁, a₂,...,an)|b2。

设ai>0(i=1，2，…，s)，(a1，a2，…，as)=1，考虑方程(1')的非负整数解xi≥0(i=1，2，…，s)，存在仅与a1，a2，…，as有关的数Fa1，…，as，当n>Fa1，…，as时，方程(1')有非负整数解。令A(n)为其解数，则

求出Fa1，a2，…，as的最佳值 ɡa1，a2，…，as就是弗罗贝尼乌斯问题1。

二元一次不定方程及其求解设a,b,c是整数，形如ax+by=c的方程是二元一次不定方程。

定理2 设a,b,c是整数，方程ax+by=c若有解(x0,y0)，则它的一切解具有的形式，其中。

定理1和定理2说明了解二元一次不定方程的歩骤：

(1)判断方程是否有解，即(a，b)|c是否成立；

(2)利用辗转相除法求出x0,y0，使得ax0+by0=(a,b)；

(3)写出方程ax+by=c的解，其中。

多元一次不定方程及其求解定理3 设a₁, a₂,...,an,b是整数，再设(a₁, a₂,...,an-1) = dn-1，(a₁, a₂,...,an)=dn，则是方程(1)的解的充分必要条件是存在整数t,使得是方程组

的解。

定理3说明了求解n元一次不定方程的方法：先解方程组中的第二个方程，再解方程组中的第一个方程，于是，解n元一次不定方程就化为解n-1元一次不定方程，重复这个过)程，最终归结为求解二元一次不定方程。

记(a₁, a₂) = d2，(d2,a3) = d3,...,(dn-2,an-1) =dn-1，(dn-1,an) = dn。

逐个地解方程

并且消去中间变量就可以得到方程的解2。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所