[科普中国]-空间旋转反射-

空间旋转反射(rotation reflection in space)是一种空间变换，如果f₁=ω(a，φ)是空间的一个旋转角为φ的旋转变换，a为旋转轴，f₂是空间的一个面反射变换，反射面为α，当a⊥α时，变换积f₂·f₁称为空间的旋转反射变换；并且直线a称为旋转反射轴，α称为旋转反射面，a和α的交点O称为旋转反射心，φ称为旋转反射角。空间中三个面反射的积，当三个反射面恰有一个公共点时，就可以化为一个旋转反射，其公共点就是旋转反射心。旋转反射属于第二种合同变换，空间点反射是旋转角为二直角时的旋转反射，空间面反射是旋转角为零的旋转反射1。

基本介绍空间旋转反射是指空间的旋转反射变换，空间的旋转反射与空间的面反射变换的乘积称为空间的旋转反射（变换），此变换属于第二类合同变换1。

空间旋转变换是一种特殊的几何变换，指空间的所有点绕同一直线旋转同一角度的变换。旋转变换简称旋转，是欧氏几何中的一种重要变换，即在欧氏平面上(欧氏空间中)，让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角，变成另一点P′，如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换，此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴)，该定角称为旋转角。旋转是第一种正交变换，在平面直角坐标系中，若旋转中心为点M0(x0，y0)，点P(x，y)绕M0旋转定角θ后变成点P′(x′，y′)，则平面上旋转变换的代数表达式为

旋转变换的逆变换也是旋转变换，两个绕同一点(同一轴线)的旋转变换的乘积仍是旋转变换，所有绕同一点(同一轴线)的旋转变换的全体构成一个群，称为旋转群，在旋转变换下，两点间的距离与两直线的交角均保持不变，旋转变换的概念可以推广到n维欧氏空间。绕O(0，0，…，0)点旋转的代数表达式为

或用矩阵表示为：(x′i)=(aij)·(xi)，其中aij为常数，且(x′i)，(xi)均为n×1矩阵，矩阵(aij)是行列式等于1的正交矩阵。

镜面反射变换简称镜面反射或平面反射，欧氏空间中的一种特殊变换。在欧氏空间中，把任一点A映成关于给定平面π对称的点A′的变换称为关于平面π的镜面反射变换，平面π称为反射平面。镜面反射是第二种正交变换。在镜面反射变换下，连结变换的每一对对应点A，A′所得到的线段都垂直于反射平面π且被π所平分，平面π上的点都是不动点，镜面反射变换在直观上相当于把平面π看做一面镜子，变换前后的对应点就好比是物与像那样，在空间直角坐标系中，若把坐标平面xOy取为反射平面，则镜面反射变换的代数表达式为

其中(x，y，z)，(x′，y′，z′)分别是变换前的点与变换后它的对应点的坐标1。

相关介绍如果一个图形F在合同变换f下对应于图形F',那么称图形F与F'合同。

我们不难发现，合同变换下，两个对应图形F与F'的边界方向(顺时针方向或逆时针方向)或者是一致的，或者是反向的。因此，按照对应图形的边
界方向可以将合同变换分为两类：将使得对应图形F与F'的边界方向相同的合同变换称为第一类合同变换(如图1)，而将使得两个对应图形F与F’边界方向相反的合同变换称为第二类合同变换(如图2)。因而，我们将在第一类合同变换下的对应图形F与F‘称为真正合同，而把第二类合同变换下的对应图形F与F'称为镜像合同2。