[科普中国]-正则模态分析

正则模态分析，在常规中，研究结构动力特性一种方法，一般应用在工程振动领域。其中，模态是指机械结构的固有振动特性，每一个模态都有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。分析这些模态参数的过程称为模态分析。

等效势能的蛋白质分子结构正则模态分析蛋白质分子依靠在生理环境中不断运动实现生物功能。具有稳定结构的蛋白质分子通常被认为在势能函数最稳定点附近做简谐振动，因此链状分子的复杂运动可以用正则模态分析的方法描述。在20世纪80年代，正则模态分析方法开始被用于蛋白质结构动力学研究，蛋白质结构的运动可以表示为不同振动模式叠加，以此描述最低能量状态附近的简谐运动。超过3800种蛋白质结构动力学研究表明，其中半数以上可以由两个或更少的低频振动模式叠加代表。1

普通正则模态分析方法将氨基酸残基看作完全相同的质点，残基之间存在刚度相同的弹性作用力。然而20种天然氨基酸具有不同的疏水、静电等物理属性，残基之间的相互作用力应该与对应的氨基酸类型紧密相关。长期以来，人们发现氨基酸残基在蛋白质结构中的分布具有一定偏好，有些氨基酸往往被隐藏在内部，有些氨基酸则常常配对出现。在残基相互作用趋势基础上，派生出了氨基酸之间的等效势能函数。提出了基于等效势能的作用力模型，在不同残基之间引人了与氨基酸种类相关的作用势能。同时，将原子看作球体模型，通过原子间距离判断准则确立氨基酸接触关系。由此建立的蛋白质分子弹性网络模型包含了更为真实的氨基酸相互作用，对分子结构的正则模态分析更趋精确。1

求解不可压方程的三阶精度投影方法在数值模拟不可压缩流动中，投影方法得到了越来越广泛的应用，一般认为，投影方法在时间方向上仅仅停留在二阶精度。通过分析发现，压力更新公式在高阶投影方法的构造中具有非常重要的作用，它不仅影响压力的精度，同时还影响格式的稳定性。在此基础上结合相容的压力更新公式，提出了三阶精度的投影方法。正则模态分析的结果表明，提出的投影方法速度具有三阶精度。当采用相容的压力更新公式时，压力也具有三阶精度，而且格式是稳定的；而采用传统压力更新公式，压力在边界附近只有二阶精度，且格式不稳定。数值结果验证了上述结论。2

投影方法的提出在求解原始变量形式的、非定常不可压Navier-Stokes( N-S)方程的数值方法中，投影方法凭其计算高效的优势越来越受到重视。投影方法最早由Chorin提出，他注意到：在不可压缩流动中，压力没有任 何的热动力学上的意义，仅仅作为一 个Lagrange乘子来保证不可压条件(连续方程)得到满足。以此为基础，他提出了一种将速度和压力解耦求解的数值方法，称为投影方法或分数步方法。这个方法是一种预测-校正的两步格式：第1步，不考虑不可压条件，在一个估计的压力下求解动量方程得到所谓中间速度场，第2步，将中间速度场进行Helmholtz-Hodge分解，这个过程称为速度场的“投影”，由此可以得到满足连续方程的速度场，并对压力场进行修正。Chorin的方法在时间方向只有一阶精度。近20年来，为了计算非定常不可压缩流动，出现了一系列的二阶时间精度的投影方法。

Shen曾认为任何高于二阶精度的投影方法都将是无条件不稳定的。发现他的结论与特定的压力更新公式紧密相关，当采用合适的压力更新公式后，三阶精度的投影方法是有可能稳定的。基于这一分析，提出了一种时间方向具有三阶精度的投影方法。2

正则模态分析投影格式精度考虑到对流项通常显式处理，因此略去N-S方程中的对流项，只研究Stokes方程，同时将计算域简化成一个x方向为半无限长，y方向为长度为2π，且满足周期性条件的区域：Ω=[0，∞]×[-π，π]。在x=0处，边界条件为：

u(0，y，t)=a，v(0，y，t)=β。

由于只分析投影格式时间方向的精度，因此空间保持连续。尽管问题被简化，但是在这种简化条件下，采用正则模态方法分析投影格式精度的做法被广泛接受。2

三阶精度和格式稳定性的影响提出了求解不可压N-S方程的一个三阶精度的投影格式，并分析了压力更新公式的作用。发现压力更新公式不仅对格式的精度产生影响，同时还影响格式的稳定性。通过正则模态方法进一步分析得到的投影格式可以保证速度和压力都具有三阶精度，同时发现当采用传统压力更新公式时，压力中将含有伪模成分，并使得压力在边界处的精度降低，导致数值边界层。最后，数值结果验证了格式具有三阶时间精度，并检验了两种不同的压力更新公式对格式稳定性的影响。2

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所